汽轮机间隙气流激振力分析

摘要

基于流体动力学，应用动量定理研究汽轮机直叶片、短扭叶片、长扭叶片以及汽轮机调节级由于间隙引起的气流激振力问题，综合考虑了叶片的各项设计参数并应用理论分析方法导出普遍适用的计算公式，解决了Alford公式中需人为选取效率系数的困难。数值实验的结果表明，所导出的计算公式是可靠的。

正文

《1 前言》

1 前言

汽轮机叶轮偏心造成圆周方向叶尖间隙分布不均匀, 由于叶尖间隙不均匀, 同一级中各叶片上的气动力就不相等, 因此, 叶片上的周向气动力除合成一个扭矩外, 还合成一个作用于转子轴心的横向力。这一横向力随叶轮偏心距的增大而增大, 是转子的一个自激激振力, 该力引起转子的进动 (涡动) , 在一定条件下会引起转子的失稳。早在1958年, 德国的托马斯 (H. J. Thomas) 在研究蒸汽涡轮机时就首先提出了这一问题, 并称为“间隙激振”。1965年, 美国的阿尔福德 (J. S. Alford) 在研究航空发动机稳定性时也指出了这一问题^[1], 人们习惯上将该激振力称为阿尔福德 (Alford) 力。

Thomas的计算公式为

$F_{t y} = \frac{m_{0} λ u}{2} \cdot \frac{d ξ_{s p}}{d δ} \cdot e ‚ (1)$ $F_{t y} = \frac{m_{0} λ u}{2} \cdot \frac{d ξ_{s p}}{d δ} \cdot e ‚ (1)$

式中 m₀为总气体流量, λ为压力系数, u为叶片中央处的切线速度, ξ_sp为局部效率损失, δ为叶尖间隙, e为偏心距 (见图1) 。

Alford的计算公式为

$F_{t y} = \frac{Τ β e}{D Η}, (2)$ $F_{t y} = \frac{Τ β e}{D Η}, (2)$

式中 T为叶轮上的扭矩, D为叶片中央处的直径, H为叶片高度, β为系数。

《图1》

图1 叶尖间隙及Alford力示意图

Fig.1 Sketch of Alford force and clearance

以上的研究结果都是基于叶轮的局部效率损失而得到的, 并且在实际应用中都存在着许多缺陷。例如Thomas公式中的dξ_sp/dδ难以计算;而试验结果表明, Alford公式中的系数β是一个与叶轮结构、扭矩大小有关的量, 不是一个常数, 因而难以选取合适的值。由于以上原因, Thomas公式和Alford公式实际上还只是定性地说明Alford力的公式, 用这两个公式是难以依据实际结构和参数计算出激振力的大小的。针对Thomas和Alford公式存在的不足, 人们又做了许多修正、改进工作, 并对其引起的转子失稳机理进行了一些研究。参考文献[2]对有关间隙气流激振力的研究工作做了一个综述。但正如参考文献[3]所指出的那样, 其失稳机理很复杂, 定性地讲主要是流动介质对偏心转轴产生一个切向叶尖间隙激振力, 要实现定量分析, 首先需要找到该激振力与轴的偏心之间的关系。

针对目前有关Alford力的研究还很不完善的情况, 在国家攀登计划和国家自然科学基金资助下, 作者开展了关于Alford力的研究, 从流体动力学出发, 导出了汽轮机直叶片、扭叶片在均匀气流场的Alford力的计算公式以及汽轮机调节级在部分进气工作状态下的Alford力的计算公式。

《2 基本假设与分析方法》

2 基本假设与分析方法

假设1 忽略叶栅间气流场的边界层厚度及气流的边界效应, 认为叶栅间气流场为均匀气流场。

汽轮机叶片简图如图2所示。由动量定理的微分形式, 气道内气流所受叶片力的冲量为

$F^{'} d t = d (m v), (3)$ $F^{'} d t = d (m v), (3)$

式中 F′为气流所受叶片作用力;m为气体质量, v为气体流速。

在动叶片气道内取一微元

$m = V ρ d t, (4 a)$ $m = V ρ d t, (4 a)$

式中 V为气流流量;ρ为气流密度。

于是式 (3) 变为

$F^{'} d t = V ρ d t d v = V ρ d t (v_{2} - v_{1}), (4 b)$ $F^{'} d t = V ρ d t d v = V ρ d t (v_{2} - v_{1}), (4 b)$

式中 v₂, v₁分别为气流出口速度和进口速度。

在该微元上应用动量定理的微分形式得

$d (F^{'} d t) = d [V ρ d t (v_{2} - v_{1})] ‚ (5)$ $d (F^{'} d t) = d [V ρ d t (v_{2} - v_{1})] ‚ (5)$

于是可得该微元作用于动叶上的力为

$d F = d V ρ (v_{2} - v_{1})] ‚ (6) 。$ $d F = d V ρ (v_{2} - v_{1})] ‚ (6) 。$

由图3 (沿环向的两个横剖面展开图) 可见, dF的切向分量为

$\begin{array}{l} d F_{t} = d V ρ (v_{1} \cos β_{1} + v_{2} \cos β_{2}) \\ = d V ρ v_{1} (\cos β_{1} + ψ \cos β_{2}) ‚ (7) \end{array}$ $\begin{array}{l} d F_{t} = d V ρ (v_{1} \cos β_{1} + v_{2} \cos β_{2}) \\ = d V ρ v_{1} (\cos β_{1} + ψ \cos β_{2}) ‚ (7) \end{array}$

式中 β₁为进气角, β₂为出气角, ψ为速度系数。

由图2的几何关系, 可得

$d V = d A^{'} v_{1} = \sin β_{1} v_{1} r d r d θ ‚ (8)$ $d V = d A^{'} v_{1} = \sin β_{1} v_{1} r d r d θ ‚ (8)$

式中 A′为气流截面积, r为气体微元半径。

《图2》

图2 汽轮机叶片轴视简图 (左) 与示意图 (右)

Fig.2 Isometic sketch of blades of steam turbine

《图3》

图3 气流在静、动叶片间流动示意图

Fig.3 Sketch of air flowing between the static blades and moving blades

假设2 设动叶片与静叶片间隙等于零的理想状态的气流密度为ρ₀, 根据均匀气流场的假设和质量守恒定律, 当动叶片与静叶片存在间隙δ时, 由图1可见, 有以下关系:

$ρ_{0} (R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2}) = ρ [(R_{Τ}^{2} + δ)^{2} - R_{B}^{2}] ‚ (9)$ $ρ_{0} (R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2}) = ρ [(R_{Τ}^{2} + δ)^{2} - R_{B}^{2}] ‚ (9)$

于是气流密度为ρ为

$\begin{array}{l} ρ = ρ_{0} (\frac{R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2}}{(R_{Τ}^{2} + δ)^{2} - R_{B}^{2}}) = \\ ρ_{0} (1 - \frac{2 R_{Τ} δ + δ^{2}}{R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2} + 2 R_{Τ} δ - δ^{2}}), (10) \end{array}$ $\begin{array}{l} ρ = ρ_{0} (\frac{R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2}}{(R_{Τ}^{2} + δ)^{2} - R_{B}^{2}}) = \\ ρ_{0} (1 - \frac{2 R_{Τ} δ + δ^{2}}{R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2} + 2 R_{Τ} δ - δ^{2}}), (10) \end{array}$

式中 ρ₀为理想状态气流密度, R_T为叶片端部半径, R_B为叶片根部半径 (见图2右图) 。

略去δ的高阶项, 得

$ρ = ρ_{0} (1 - \frac{2 R_{Τ} δ}{R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2} + 2 R_{Τ} δ}) 。 (11)$ $ρ = ρ_{0} (1 - \frac{2 R_{Τ} δ}{R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2} + 2 R_{Τ} δ}) 。 (11)$

令

$C = v_{1}^{2} \sin β_{1} ρ_{0} (\cos β_{1} + ψ \cos β_{2}) ‚ (12)$ $C = v_{1}^{2} \sin β_{1} ρ_{0} (\cos β_{1} + ψ \cos β_{2}) ‚ (12)$

将式 (11) 、式 (8) 代入式 (7) , 得

$d F_{t} = C (1 - \frac{2 R_{Τ} δ}{R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2} + 2 R_{Τ} δ}) r d r d θ 。 (13)$ $d F_{t} = C (1 - \frac{2 R_{Τ} δ}{R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2} + 2 R_{Τ} δ}) r d r d θ 。 (13)$

由图1可得几何关系

$δ = \bar{δ} - e c o s θ ‚ (14)$ $δ = \bar{δ} - e c o s θ ‚ (14)$

式中 $\bar{δ}$ $\bar{δ}$ 为叶尖平均间隙, e为偏心距, 代入式 (13) 得

$d F_{t} = C (1 - \frac{2 R_{Τ} (\bar{δ} - e c o s θ)}{R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2} + 2 R_{Τ} (\bar{δ} - e c o s θ)}) r d r d θ (15)$ $d F_{t} = C (1 - \frac{2 R_{Τ} (\bar{δ} - e c o s θ)}{R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2} + 2 R_{Τ} (\bar{δ} - e c o s θ)}) r d r d θ (15)$

dF_t沿y方向的分量dF_ty为

$\begin{array}{l} d F_{t y} = d F_{t} \cos θ = \\ C (1 - \frac{2 R_{Τ} (\bar{δ} - e c o s θ)}{R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2} + 2 R_{Τ} (\bar{δ} - e c o s θ)}) r c o s θ d r d θ \\ (16) \end{array}$ $\begin{array}{l} d F_{t y} = d F_{t} \cos θ = \\ C (1 - \frac{2 R_{Τ} (\bar{δ} - e c o s θ)}{R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2} + 2 R_{Τ} (\bar{δ} - e c o s θ)}) r c o s θ d r d θ \\ (16) \end{array}$

《3 间隙气流激振力的计算公式》

3 间隙气流激振力的计算公式

《3.1 短直叶片的间隙气流激振力》

3.1 短直叶片的间隙气流激振力

对于汽轮机的短直叶片, 将公式 (16) 积分, 并进行相应的变换 (详见参考文献[4]) , 可得间隙气流激振力计算公式

$\begin{array}{l} F_{t y} = v_{1}^{2} \sin β_{1} ρ_{0} (\cos β_{1} + ψ \cos β_{2}) \cdot \\ \frac{R_{Τ} π (R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2})^{2} e}{(R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2} + 2 R_{Τ} \bar{δ})^{2}} 。 (17) \end{array}$ $\begin{array}{l} F_{t y} = v_{1}^{2} \sin β_{1} ρ_{0} (\cos β_{1} + ψ \cos β_{2}) \cdot \\ \frac{R_{Τ} π (R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2})^{2} e}{(R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2} + 2 R_{Τ} \bar{δ})^{2}} 。 (17) \end{array}$

《3.2 短扭叶片的间隙气流激振力》

3.2 短扭叶片的间隙气流激振力

由于扭叶片是型线沿叶高变化的变截面叶片, 进气角β₁和出气角β₂沿叶高是变化的, 要对式 (16) 进行积分, 必须知道β₁和β₂沿叶高的变化规律。对于短叶片, 假设进气相对速度不变, 可取叶片中径R_m= (R_T+R_B) /2处的进气相对速度作为叶片进气相对速度v₁。采用三元流动理论进行扭叶片气动力计算时, 方程复杂, 无法求得其精确解, 只能采用数值算法求得其离散数值解。设β₁和β₂沿叶片高度的n+1个离散值分别为

$\begin{array}{l} β_{1} = {β_{10}, β_{11}, \dots, β_{1 n}} \\ β_{2} = {β_{20}, β_{21}, \dots, β_{2 n}} ‚ \end{array} (18)$ $\begin{array}{l} β_{1} = {β_{10}, β_{11}, \dots, β_{1 n}} \\ β_{2} = {β_{20}, β_{21}, \dots, β_{2 n}} ‚ \end{array} (18)$

式中 β₁, β₂的n+1个离散值可由叶片迎气曲面几何形状等计算出来, n+1为数值解计算截面的个数, β₁₀, β₂₀为叶根部进气角和出气角, β_1n, β_2n为叶尖部进气角和出气角。

对于这种以离散数值形式给出β₁和β₂沿叶高变化的情况, 采用分段线性化方法, β₁和β₂可表示为

$\begin{array}{l} β_{1} = β_{1 i} + k_{1 i} (r - r_{i}) \\ β_{2} = β_{2 i} + k_{2 i} (r - r_{i}) \end{array} r_{i} \leq r \leq r_{i + 1}, (19)$ $\begin{array}{l} β_{1} = β_{1 i} + k_{1 i} (r - r_{i}) \\ β_{2} = β_{2 i} + k_{2 i} (r - r_{i}) \end{array} r_{i} \leq r \leq r_{i + 1}, (19)$

式中 i为整数, i∈{0, 1, 2, …, n-1};β_1i为i点的进气角;β_2i为i点的出气角,

$\begin{array}{l} k_{1 i} = (β_{1, i + 1} - β_{1 i}) / (r_{i + 1} - r_{i}) \\ k_{2 i} = (β_{2, i + 1} - β_{2 i}) / (r_{i + 1} - r_{i}) ‚ \end{array} (20)$ $\begin{array}{l} k_{1 i} = (β_{1, i + 1} - β_{1 i}) / (r_{i + 1} - r_{i}) \\ k_{2 i} = (β_{2, i + 1} - β_{2 i}) / (r_{i + 1} - r_{i}) ‚ \end{array} (20)$

令

$\begin{array}{l} \tilde{β}_{1 i} = β_{1 i} - k_{1 i} r_{i} \\ \tilde{β}_{2 i} = β_{2 i} - k_{2 i} r_{i} ‚ \end{array} (21)$ $\begin{array}{l} \tilde{β}_{1 i} = β_{1 i} - k_{1 i} r_{i} \\ \tilde{β}_{2 i} = β_{2 i} - k_{2 i} r_{i} ‚ \end{array} (21)$

采用分段线性化方法, 求得短扭叶片Alford力表达式为

$\begin{array}{l} F_{t y} = \sum_{i = 0}^{n - 1} \int_{r_{i}}^{r_{i + 1}} v_{1}^{2} \sin (\tilde{β}_{10} + k_{1} r) ρ_{0} \cdot \\ [\cos (\tilde{β}_{10} + k_{1 i} r) + ψ \cos (\tilde{β}_{20} + k_{2 i} r)] r d r \cdot \\ \int_{0}^{2 π} (1 - \frac{2 R_{Τ} (\bar{δ} - e c o s θ)}{R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2} + 2 R_{Τ} (\bar{δ} - e c o s θ)}) \cos θ d θ = \\ \frac{2 (R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2}) π v_{1}^{2} ρ_{0} R_{Τ} e}{(R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2} + 2 R_{Τ} \bar{δ})^{2}} \cdot \sum_{i = 0}^{n - 1} (Ι_{1 i} + ψ Ι_{2 i}) ‚ (22) \end{array}$ $\begin{array}{l} F_{t y} = \sum_{i = 0}^{n - 1} \int_{r_{i}}^{r_{i + 1}} v_{1}^{2} \sin (\tilde{β}_{10} + k_{1} r) ρ_{0} \cdot \\ [\cos (\tilde{β}_{10} + k_{1 i} r) + ψ \cos (\tilde{β}_{20} + k_{2 i} r)] r d r \cdot \\ \int_{0}^{2 π} (1 - \frac{2 R_{Τ} (\bar{δ} - e c o s θ)}{R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2} + 2 R_{Τ} (\bar{δ} - e c o s θ)}) \cos θ d θ = \\ \frac{2 (R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2}) π v_{1}^{2} ρ_{0} R_{Τ} e}{(R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2} + 2 R_{Τ} \bar{δ})^{2}} \cdot \sum_{i = 0}^{n - 1} (Ι_{1 i} + ψ Ι_{2 i}) ‚ (22) \end{array}$

式中

$\begin{array}{l} Ι_{1 i} = \int_{r_{i}}^{r_{i + 1}} s i n (\tilde{β}_{10} + k_{1 i} r) \cos (\tilde{β}_{10} + k_{1 i} r) r d r ‚ (23) \\ Ι_{2 i} = \int_{r_{i}}^{r_{i + 1}} s i n (\tilde{β}_{20} + k_{1 i} r) \cos (\tilde{β}_{20} + k_{2 i} r) r d r 。 (24) \end{array}$ $\begin{array}{l} Ι_{1 i} = \int_{r_{i}}^{r_{i + 1}} s i n (\tilde{β}_{10} + k_{1 i} r) \cos (\tilde{β}_{10} + k_{1 i} r) r d r ‚ (23) \\ Ι_{2 i} = \int_{r_{i}}^{r_{i + 1}} s i n (\tilde{β}_{20} + k_{1 i} r) \cos (\tilde{β}_{20} + k_{2 i} r) r d r 。 (24) \end{array}$

I_1i, I_2i 的表达式见参考文献[5]。

《3.3 长扭叶片的间隙气流激振力》

3.3 长扭叶片的间隙气流激振力

对于汽轮机低压部分 (特别是末几级) , 蒸气的容积流量G_V相当大, 叶片很长。在这种情况下, 再采用叶片进气相对速度沿叶高不变的假设计算, 误差较大, 必须考虑叶片进气相对速度沿叶高变化的影响。动叶片进出口的速度三角形如图4所示。由图4可见, 叶片进气相对速度v₁可用进气绝对速度v_1a和叶片绝对线速度v_e表示为

$v_{1} = \sqrt{v_{1 a}^{2} + v_{e}^{2} - 2 v_{1 a} v_{e} \cos γ} (25)$ $v_{1} = \sqrt{v_{1 a}^{2} + v_{e}^{2} - 2 v_{1 a} v_{e} \cos γ} (25)$

设沿叶高方向不同截面的γ数值可由集合γ={γ₀, γ₁, …, γ_n} 表示, 采用分段线性化方法, 可求得长扭叶片Alford力表达式为

$\begin{array}{l} F_{t y} = \sum_{i = 0}^{n - 1} \int_{r_{i}}^{r_{i + 1}} [v_{1 a}^{2} + (r ω)^{2} - 2 v_{1 a} r ω \cos (\tilde{γ}_{10} + \\ k_{γ} r)] \sin (\tilde{β}_{10} + k_{1} r) [\cos (\tilde{β}_{10} + k_{1 i} r) + \\ ψ \cos (\tilde{β}_{20} + k_{2 i} r)] r d r \cdot \end{array}$ $\begin{array}{l} F_{t y} = \sum_{i = 0}^{n - 1} \int_{r_{i}}^{r_{i + 1}} [v_{1 a}^{2} + (r ω)^{2} - 2 v_{1 a} r ω \cos (\tilde{γ}_{10} + \\ k_{γ} r)] \sin (\tilde{β}_{10} + k_{1} r) [\cos (\tilde{β}_{10} + k_{1 i} r) + \\ ψ \cos (\tilde{β}_{20} + k_{2 i} r)] r d r \cdot \end{array}$

$\begin{array}{l} \int_{0}^{2 π} ρ_{0} (1 - \frac{2 R_{Τ} (\bar{δ} - e c o s θ)}{R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2} + 2 R_{Τ} (\bar{δ} - e c o s θ)}) d θ = \\ \frac{2 (R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2}) π ρ_{0} R_{Τ} e}{(R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2} + 2 R_{Τ} \bar{δ})^{2}} \sum_{i = 0}^{n - 1} (Ι Ι_{1 i} + ψ Ι Ι_{2 i}) (26) \\ Ι Ι_{1 i} = \int_{r_{i}}^{r_{i + 1}} [v_{1 a}^{2} + (r ω)^{2} - 2 v_{1 a} r ω \cos (\tilde{γ}_{10} + k_{γ} r)] \cdot \\ \sin (\tilde{β}_{10} + k_{1 i} r) \cos (\tilde{β}_{10} + k_{1 i} r) r d r (27) \\ Ι Ι_{2 i} = \int_{r_{i}}^{r_{i + 1}} [v_{1 a}^{2} + (r ω)^{2} - 2 v_{1 a} r ω \cos (\tilde{γ}_{10} + k_{γ} r)] \cdot \\ \sin (\tilde{β}_{10} + k_{1 i} r) \cos (\tilde{β}_{20} + k_{2 i} r)] r d r ‚ (28) \end{array}$ $\begin{array}{l} \int_{0}^{2 π} ρ_{0} (1 - \frac{2 R_{Τ} (\bar{δ} - e c o s θ)}{R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2} + 2 R_{Τ} (\bar{δ} - e c o s θ)}) d θ = \\ \frac{2 (R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2}) π ρ_{0} R_{Τ} e}{(R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2} + 2 R_{Τ} \bar{δ})^{2}} \sum_{i = 0}^{n - 1} (Ι Ι_{1 i} + ψ Ι Ι_{2 i}) (26) \\ Ι Ι_{1 i} = \int_{r_{i}}^{r_{i + 1}} [v_{1 a}^{2} + (r ω)^{2} - 2 v_{1 a} r ω \cos (\tilde{γ}_{10} + k_{γ} r)] \cdot \\ \sin (\tilde{β}_{10} + k_{1 i} r) \cos (\tilde{β}_{10} + k_{1 i} r) r d r (27) \\ Ι Ι_{2 i} = \int_{r_{i}}^{r_{i + 1}} [v_{1 a}^{2} + (r ω)^{2} - 2 v_{1 a} r ω \cos (\tilde{γ}_{10} + k_{γ} r)] \cdot \\ \sin (\tilde{β}_{10} + k_{1 i} r) \cos (\tilde{β}_{20} + k_{2 i} r)] r d r ‚ (28) \end{array}$

式中 II_1i, II_2i的积分表达式见参考文献[5]。

《图4》

图4 动叶片气流三角形

Fig.4 Air triangle of moving blade

《3.4 调节级直叶片间隙气流激振力计算公式》

3.4 调节级直叶片间隙气流激振力计算公式

汽轮机的调节级承受由高压喷嘴喷出的高温、高压蒸汽, 该级的的蒸汽温度最高, 压力、速度、密度最大。图5是喷嘴气道等间距分布喷嘴的示意图, 由图5可见, 该级是部分进气, 且在不同工况下各喷嘴的气流流量不相同, 工作环境特别恶劣, 工作中由该级引起的振动较大, 因此研究该级的气流激振力对于汽轮机设计具有重要意义。

《图5》

图5 气道等间距喷嘴示意图

Fig.5 Nozzle sketch with isointerval

由图5可见, 四组喷嘴的始、末位置与x轴正向的夹角如表1所示。

表1 四组喷嘴的始、末位置与x轴正向的夹角

Table 1 Angles of initial and ending positions with x axis of four groups of nozzles rad

《表1》

组	Ⅰ	Ⅱ	Ⅲ	Ⅳ
α_b	$\frac{3 π}{2} + α_{7}$ $\frac{3 π}{2} + α_{7}$	π+α₅	$\frac{π}{2} + α_{3}$ $\frac{π}{2} + α_{3}$	α₁
α_e	α_b1+α₈	α_b2+α₆	α_b3+α₄	α_b4+α₂

高压喷嘴气流场的气流速度和密度可表示为

$\begin{array}{l} v (θ) = v_{1, i} \\ ρ (θ) ρ_{i} \end{array}} α_{b i} \leq θ \leq α_{e i}, i = 1, 2, 3, 4 (29)$ $\begin{array}{l} v (θ) = v_{1, i} \\ ρ (θ) ρ_{i} \end{array}} α_{b i} \leq θ \leq α_{e i}, i = 1, 2, 3, 4 (29)$

除此之外

$v (θ) = 0, ρ (θ) = 0,$ $v (θ) = 0, ρ (θ) = 0,$

式中 v_{1, i}为i喷嘴的气流速度, ρ_i为i喷嘴的气流密度。

调节级的间隙气流激振力为各喷嘴的间隙气流激振力之和, 如图6所示, 在局部坐标系下, 间隙气流激振力的计算公式为

$\begin{array}{l} F_{t x^{'}} = - \int_{R_{B}}^{R_{Τ}} r d r \sum_{i = 1}^{4} \int_{α_{b i}}^{α_{e i}} C_{i} \cdot \\ (1 - \frac{2 R_{Τ} [\bar{δ} - e c o s (θ - α)]}{R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2} + 2 R_{Τ} [\bar{δ} - e c o s (θ - α)]}) \sin (θ - α) d θ ‚ \\ (30) \\ C_{i} = v_{1, i}^{2} \sin β_{1} ρ_{i, 0} (\cos β_{1} + ψ \cos β_{2}) ‚ (31) \end{array}$ $\begin{array}{l} F_{t x^{'}} = - \int_{R_{B}}^{R_{Τ}} r d r \sum_{i = 1}^{4} \int_{α_{b i}}^{α_{e i}} C_{i} \cdot \\ (1 - \frac{2 R_{Τ} [\bar{δ} - e c o s (θ - α)]}{R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2} + 2 R_{Τ} [\bar{δ} - e c o s (θ - α)]}) \sin (θ - α) d θ ‚ \\ (30) \\ C_{i} = v_{1, i}^{2} \sin β_{1} ρ_{i, 0} (\cos β_{1} + ψ \cos β_{2}) ‚ (31) \end{array}$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} F_{t x^{'}}^{i} = {\begin{cases} \frac{(R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2})^{2}}{2 (R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2} + 2 R_{Τ} \bar{δ})} \sum_{i = 1}^{4} C_{i} \cos (θ - α) |_{α_{b i}}^{α_{e i}} \\ e = 0 \\ - \frac{(R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2})^{2}}{4 R_{Τ} e} \sum_{i = 1}^{4} C_{i} \ln [(R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2} + 2 R_{Τ} \bar{δ}) - \\ 2 R_{Τ} e c o s (θ - α)] |_{α_{b i}}^{α_{e i}} e > 0 ‚ \end{cases} \\ (32) \end{array} \\ \begin{array}{l} F_{t y^{'}} = \int_{R_{B}}^{R_{Τ}} r d r \sum_{i = 1}^{4} \int_{α_{b i}}^{α_{e i}} C_{i} \cdot \\ (1 - \frac{2 R_{Τ} [\bar{δ} - e c o s (θ - α)]}{R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2} + 2 R_{Τ} [\bar{δ} - e c o s (θ - α)]}) \cdot \\ \cos (θ - α) d θ = \frac{(R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2})^{2}}{4 R_{Τ} e} \sum_{i = 1}^{4} C_{i} Ι_{i} (33) \end{array} \\ Ι_{i} = {\begin{cases} (A a r c t a n (B t a n \frac{θ - α}{2}) - (θ - α)) |_{α_{b i}}^{α_{e i}} \\ π \notin (α_{e i} - α ‚ α_{b i} - α) \\ (A a r c t a n (B t a n \frac{θ - α}{2}) - (θ - α)) |_{α_{b i}}^{π + α} + \\ (A a r c t a n (B t a n \frac{θ - α}{2}) - (θ - α)) |_{π + α}^{α_{e i}} \\ π \in (α_{e i} - α, α_{b i} - α) \end{cases} (34) \end{array}$ $\begin{array}{l} \begin{array}{l} F_{t x^{'}}^{i} = {\begin{cases} \frac{(R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2})^{2}}{2 (R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2} + 2 R_{Τ} \bar{δ})} \sum_{i = 1}^{4} C_{i} \cos (θ - α) |_{α_{b i}}^{α_{e i}} \\ e = 0 \\ - \frac{(R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2})^{2}}{4 R_{Τ} e} \sum_{i = 1}^{4} C_{i} \ln [(R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2} + 2 R_{Τ} \bar{δ}) - \\ 2 R_{Τ} e c o s (θ - α)] |_{α_{b i}}^{α_{e i}} e > 0 ‚ \end{cases} \\ (32) \end{array} \\ \begin{array}{l} F_{t y^{'}} = \int_{R_{B}}^{R_{Τ}} r d r \sum_{i = 1}^{4} \int_{α_{b i}}^{α_{e i}} C_{i} \cdot \\ (1 - \frac{2 R_{Τ} [\bar{δ} - e c o s (θ - α)]}{R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2} + 2 R_{Τ} [\bar{δ} - e c o s (θ - α)]}) \cdot \\ \cos (θ - α) d θ = \frac{(R_{Τ}^{2} - R_{B}^{2})^{2}}{4 R_{Τ} e} \sum_{i = 1}^{4} C_{i} Ι_{i} (33) \end{array} \\ Ι_{i} = {\begin{cases} (A a r c t a n (B t a n \frac{θ - α}{2}) - (θ - α)) |_{α_{b i}}^{α_{e i}} \\ π \notin (α_{e i} - α ‚ α_{b i} - α) \\ (A a r c t a n (B t a n \frac{θ - α}{2}) - (θ - α)) |_{α_{b i}}^{π + α} + \\ (A a r c t a n (B t a n \frac{θ - α}{2}) - (θ - α)) |_{π + α}^{α_{e i}} \\ π \in (α_{e i} - α, α_{b i} - α) \end{cases} (34) \end{array}$

《图6》

《图7》

图6 调节级间隙示意图

Fig.6 Sketch of clearance in control stage

《4 结论》

4 结论

汽轮机间隙气流激振力是引起汽轮机转子失稳的重要因素, 近年来已越来越引起国内外研究人员的重视。作者基于均匀气流场的假设, 建立了气流密度随叶尖间隙变化的关系, 以此关系为基础, 应用流体动力学方法, 导出了汽轮机直叶片、扭叶片在均匀气流场的Alford力的计算公式以及汽轮机调节级在部分进气工作状态下的Alford力的计算公式。本文简要介绍了这些研究成果, 把需要人为确定待定系数的Alford公式改进为可根据汽轮机结构参数和气流参数计算间隙气流激振力的公式, 参考文献[4,5,6]所给出的数值计算结果表明, 由本文公式对比计算得到的β值在参考文献[7]给出的选择范围[ β_min, β_max]之间, 说明本文公式的计算结果是可靠的。这些成果将汽轮机间隙气流激振力研究向前推进了一步, 同时也为汽轮机的稳定性计算提供了基础。

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