Frequency-domain-based Robustness Analysis for PID Generalized Predictive Control

Abstract

The closed-loop feedback structure of PID generalized predictive control (PID - GPC) is proposed, then small-gain criterion is used to obtain a sufficient condition for the robust stability of PID - GPC under the condition of model-plant mismatch ( MPM) . Further more, the influence of PID - GPC parameter tuning on its robustness is analyzed in frequency domain.

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《1 引言》

1 引言

广义预测控制器 (GPC) ^[1]自出现以来, 在理论和应用上均获得了很快的发展, 出现了多种新的算法, 并且在工业和航空航天等领域获得了很多成功的应用 ^[2,3,4], 得到了控制工程界的高度重视。GPC之所以能够成功地应用在实际工程中, 是由于它是一种基于模型进行多步预测, 并滚动实施优化的先进控制策略。这种建立在实际反馈信息基础上的反复优化, 对建模误差和环境干扰等不确定性具有很强的适应能力。

GPC的设计通常基于一个较低阶的线性近似模型, 而复杂的工业过程或航天航空过程, 在模型阶次、非线性性、未知环境扰动等方面存在较大的不确定性, 因而研究GPC的鲁棒性程度, 探讨GPC的参数设计对其鲁棒性的影响具有重要的理论意义与实际应用价值。但是对GPC的鲁棒性分析难度较大, 主要是由于GPC是以大范围预测为基础的在线滚动优化策略, 使得其闭环传递函数较为复杂, 主要设计参数蕴含在闭环传递函数中, 难以推导出设计参数和闭环特性之间的定量关系。陈增强等 ^[5]建立了GPC闭环系统的扩展状态空间方程, 然后对其鲁棒性进行了定量分析, 给出了保证系统BIBO稳定的未建模误差的一个允许上界。Robinson和Clark ^[6]分析了滤波多项式对GPC鲁棒性的影响。孙明玮 ^[7]等在IMC框架下分析了闭环系统鲁棒性的根源, 并利用儒歇定理给出了闭环鲁棒稳定的一个上界的估计值。这些理论结果定量地分析了GPC的鲁棒性程度。但是要获得GPC参数鲁棒设计的实用性方法, 仍需要另辟蹊径。为此, 毛宗星等 ^[8]提出了基于频域的GPC稳定性分析与设计方法。由于频域理论的稳定性分析与设计具有丰富的内容, 且闭环系统的频域特性能更深刻地反映系统的本质性能, 通过频域的分析方法 (如乃奎斯特图、伯德图、根轨迹图等) 对预测控制的闭环系统进行分析, 并观察设计参数变化对性能的影响, 可有效地指导控制器的设计。

然而, 传统的由反馈系统的偏差的比例 (P) 、积分 (I) 、和微分 (D) 的线性组合构成的反馈控制律——PID控制, 由于具有原理简单, 直观易懂, 易于工程实现, 鲁棒性强, 适用面广等一系列优点, 仍一直是工业过程控制中应用最广泛的一类基本控制律。为了应用这两种控制方法的长处, 把PID控制和GPC控制结合起来, 可形成一种新的预测控制方法 (PID-GPC) 。这个方法采用了比例加积分加微分的新的目标函数, 因此推导的控制器具有一种广义的“比例+积分+微分”的结构。

首先推导了PID-GPC控制下的闭环反馈结构, 并获得了闭环鲁棒稳定的一个充分条件, 然后采用频域的幅频分析的方法, 分析了PID-GPC控制器的设计参数选择对系统鲁棒性的影响。因而能够有效地指导PID-GPC的参数设计, 对这种新型控制方法的工程应用具有重要意义。

《2 PID广义预测控制器 (PID-GPC)》

2 PID广义预测控制器 (PID-GPC)

用离散时间差分方程模型

描述一个单输入单输出的过程, 其中

y (t) 和u (t) 分别表示系统的输出和输入, q^-1为后移算子, {a_i}, {b_i}和{c_i}分别为A, B和C 3个多项式的系数, n_a, n_b和n_c为对应的阶次。

PID-GPC 目标函数如下:

其中N为预测前位。N_u为控制前位。λ>0为控制加权因子。K_p, K_i, K_d 分别为比例项系数、积分项系数和微分项系数。 $\hat{y} (t + j)$ $\hat{y} (t + j)$ 为y (t) 的向前j步预测。w (t+j) 为给定的设定值柔化序列, 由

产生, 其中y_r (t) 为t时刻的设定值, α (0≤α<1) 为柔化因子。

j=1, 2, …, N 为获得系统输出的向前j步最优预测, 解两组丢番图方程:

其中E_j, F_j, G_j, H_j为关于q^-1的多项式, 阶次分别为 j-1, n_a, n_b-1。

由式 (1) 、式 (5) 和式 (6) 可得

其中

最优预测 $\hat{y} (t + j)$ $\hat{y} (t + j)$ 为

定义

则

令

为了推导方便, 引入向量和矩阵:

其中g_i是G_j (q^-1) 中q^-i项的系数。

这样得到

将式 (2) 化成向量形式, 可得

令∂J/∂U = 0, 并化简, 最终可得

将矩阵

引入上面式子, 简化得

令Ω=K_iI+K_pS^TS+K_d (S²) ^T (S²) , 则

即

将上式化为

其中

《3 PID-GPC鲁棒性的频域分析》

3 PID-GPC鲁棒性的频域分析

被控对象仍同式 (1) , 为下面分析简单起见, 令C (q^-1) = 1和忽略ξ (t) , 设系统的实际模型为

辨识模型为

那么系统的建模误差 (MPM) $\tilde{G}$ $\tilde{G}$ (q^-1) 为

由前面的推导, 闭环反馈系统的结构图可以化为如图1所示。

《图1 PID-GPC 的反馈结构图》

图1 PID-GPC 的反馈结构图

Fig.1 The feedback structure of PID-GPC

图1 中的虚线部分记为M, 易得

据图1, 由小增益定理, 可直接得到下面定理。

定理1 如果控制器的设计使M (q^-1) 稳定 (即根在单位圆内) , 带有附加扰动的闭环系统稳定的一个充分条件是

推论1 稳定界|1/M (e^-jω) |的稳态增益等于过程模型的稳态增益。

证明由式 (31) 得

因为Δ (e^-jω) =1-e^-jω, 在稳态 (ω=0) , Δ (e^-jω) =0, 代入式 (32) 可以直接得证。

从推论可知, 在低频时, (1/M (e^-jω) |受过程模型的影响比控制器的影响大。如果未建模部分的稳态增益超过了过程模型的稳态增益, 则PID-GPC的稳定性不能保证。

《4 仿真研究》

4 仿真研究

仿真模型的传递函数取为

采样周期取T_s=1, 模型离散化后为

采用方波输入, 最小二乘辨识, 取n_a=1, n_b=1, 得到的辨识模型为

下面通过对参数的调整, 来测试各个参数对频域鲁棒界的影响。

《4.1Ki的影响》

4.1K_i的影响

图2画出了MPM曲线, 以及K_i取不同值时的|1/M (e^-jω) |曲线。其中N_u=3, N=3, α=0, λ=5, K_p =0, K_d=0。图2表明, 随着K_i的增大, 鲁棒区域 (|1/M (e^-jω) |和| $\tilde{G}$ $\tilde{G}$ (e^-jω) |之间的区域) 明显减少, 因此随着比例系数K_i的增大, 系统的鲁棒性降低。