《1 引言》
1 引言
在疲劳研究的100多年历史中, 尽管已发展了多种疲劳寿命研究方法, 但在工程实践中, 各种各样的修改的名义应力法仍然得到了广泛应用, 而S-N曲线是用名义应力法估算疲劳寿命的基础。在疲劳可靠性设计和疲劳性能测试中, 常用的S-N曲线表达式有双参数幂函数表达式、指数函数表达式和三参数幂函数表达式
大量的实验数据表明, 疲劳寿命一般服从对数正态分布。文献
式中μ为正态母体均值,
但在常规的最小二乘法拟合S-N曲线时, 却没有考虑置信区间长度的影响。图1中×表示实验数据的样本均值点, 横线段表示置信度γ下实验数据均值的置信区间长度。
《图1》
图1最小二乘法拟合实验数据示意图Fig.1 The least square fit of test data
由图1可见, 尽管S3<S5, 拟合曲线却更靠近5点, 但在曲线拟合时总希望拟合曲线靠近置信区间短的点。
《2 用加权最小二乘法拟合实验数据的一般方法》
2 用加权最小二乘法拟合实验数据的一般方法
已知实验数据组 (xi, yi) (i=1, 2, 3, …, n) , 现有函数f (x) 使得
式 (2) 可改写为
令
设函数f (x) 中含有k个待定系数ak (k<n) 则
解上述正规方程组, 便可确定k个待定系数ak。
不难看出上述最小二乘拟合问题也是求解关于ak (k<n) 的超定方程组
的最小二乘解问题。
如果采用多项式拟合, 即
则方程组的矩阵计法为
其中:
由矩阵理论可知, 不相容方程组式 (8) 的一般最小二乘解为
其中广义逆A
而加权最小二乘解为
式中A
式中W为对称正定矩阵, 在实际问题中也可称为加权矩阵。
《3 考虑置信区间长度影响的S-N曲线拟合》
3 考虑置信区间长度影响的S-N曲线拟合
《3.1 权重wi》
3.1 权重wi
引入权重
式中di为第i个应力水平下的试验值的置信区间的长度, 按式 (1) 计算;p为敏感指数, 不妨取1;w为常数, 由归一化方程确定。
于是权重为
因此, 加权矩阵W为
式中wi由公式 (14) 确定。
如果S-N曲线用幂函数的形式表示:
对式 (17) 两边取对数得
上式可改写成
对于n个试验数据点 (S
式中
于是, 考虑置信区间长度影响的加权最小二乘解便可用式 (11) 表示。
《3.2 算例》
3.2 算例
LY12CZ铝合金包铝板材 (轴向加载) 试验原始数据如表1所示
对表1中的数据分别进行最小二乘拟合与加权的最小二乘拟合, 结果如图2和图3所示。
《图3》
图2 Kt=1时S-N曲线Fig.2 The least square fit of S-N curve
《4 结果讨论》
4 结果讨论
1) 图2中, 置信区间的长度随着疲劳次数的 增加而增加, 一般最小二乘法拟合的结果和期望的正好相反。如图2中4点的置信区间长度最大 (分散性最大) 却离所拟合的直线最近, 1点的置信区间长度最短却离所拟合的直线最远, 而考虑置信区间长度影响的最小二乘法所拟合的直线基本符合期望:1点的置信区间长度最短离所拟合的直线最近, 4点的置信区间长度最远, 离所拟合的直线也最远。因此, 考虑置信区间长度影响的最小二乘法得到的S-N曲线比一般最小二乘法得到的S-N曲线有更高的可靠度。
《图4》
图3 Kt=2.5时S-N曲线Fig.3 The least square fit of S-N curve
2) 在用名义应力法估算结构寿命时, S-N曲线的形状严重地影响寿命估算的结果。疲劳寿命的分散性一般随着疲劳寿命的增加而增加, 由图2、图3可知, 用一般最小二乘法得到的S-N曲线比用考虑置信区间长度影响的最小二乘法得到的S-N曲线更趋近于寿命长的实验数据点, 造成预测寿命偏于危险, 而用考虑置信区间长度影响的最小二乘法得到的S-N曲线进行寿命预测则偏于安全。