《1 引言》
1 引言
关于可靠性工程中的参数估计, 近年来用Bayes方法取得了一些进展。特别是, 自提出多层先验分布的想法
在可靠性试验中, 常会得到各种截尾数据。对某产品进行m次定时截尾试验, 截尾时间为ti, t1 < t2 < …< tm, 相应试验样品数为ni, 若试验的结果是ni个样品中有ri个失效, ri = 0, 1, 2, …, ni, i = 1, 2, …, m, 则称 (ri, ni, ti ) 为此定时截尾试验获得的结果。
《2 参数的新Bayes估计定义》
2 参数的新Bayes估计定义
《2.1 pi的新Bayes估计的定义》
2.1 pi的新Bayes估计的定义
在文献
取失效概率pi的共轭先验分布——Beta分布作为pi的先验分布, 其密度函数为
其中 0 < pi < 1, B (a, b) =∫
文献
由于a > 0, b > 0, 0 < pi < 1, 所以当0 < a < 1, b > 1时有,
考虑到Beta分布的性质, 在0 < a < 1的条件下, b越大, Beta分布的密度函数的尾部越细, 从Bayes估计的稳健性看
定义1 称
从定义1可以看出, pi的新Bayes估计
pi的新Bayes估计是通常意义下pi的Bayes估计的一种推广, 这种推广实质上是把先验分布中的a , b从已知的常数推广到了取值在区域D1 = { (a, b) : 0 < a < 1, 1 < b < c}上的变量。
《2.2λ的新Bayes估计的定义》
2.2λ的新Bayes估计的定义
设某产品的寿命服从指数分布, 其密度函数为
其中t > 0, λ > 0, λ为指数分布的失效率。
若失效率λ的先验分布为Gamma分布——Gamma (a, b) , 其密度函数为
其中Γ (a) =∫∞0ta-1e-tdt为Gamma函数, a和b为超参数。
若根据先验信息知道所研究产品的失效率小的可能性大, 或者失效率大的可能性小, 按文献
由于λ > 0, a > 0, b > 0, 当0<a<1与b>0时,
从Bayes估计的稳健性看
定义2 称
从定义2可以看出, λ的新Bayes估计
λ的新Bayes估计是通常意义下λ的Bayes估计的一种推广, 这种推广实质上是把先验分布中的a与b从已知常数推广到了区域D2 ={ (a, b) : 0 < a < 1, 0 < b < c}上变量。
《3 参数的新Bayes估计》
3 参数的新Bayes估计
《3.1 pi的新Bayes估计》
3.1 pi的新Bayes估计
定理1 对某产品进行m次定时截尾试验, 此定时截尾试验获得的结果为 (ri, ni, ti) , i = 1, 2, …, m, 记ei = r1 + r2 + … + ri , , si = n1 + n2 + … + ni, 若pi的先验密度π (pi | a, b) 由式 (1) 给出, 则
1) 在平方损失下, pi的Bayes估计为
2) 若a和b的先验分布为区域D1上的均匀分布, pi的新Bayes估计为
其中:
证明 1) 对某产品进行m次定时截尾试验, 此定时截尾试验获得的结果为 (ri, ni, ti) , i = 1, 2, …, m, 记ei = r1 + r2 + … + ri , , si = n1 + n2 + … + ni。若在第i次定时截尾试验中, 结果有ri个样品失效, ri = 0, 1, 2, …, ni, 则pi的似然函数为
若pi的先验密度π (pi | a, b) 由式 (1) 给出, 根据Bayes定理, 则pi的后验密度为
其中0 < pi < 1。
则在二次方损失下, pi的Bayes估计为
2) 若a和b的先验分布为区域D1上的均匀分布, 根据定义1, 则pi的新Bayes估计为
其中
《3.2λ的新Bayes估计》
3.2λ的新Bayes估计
定理2 对寿命服从指数分布的产品进行m次定时截尾试验, 此定时截尾试验获得的结果为 (ri, ni, ti) , i = 1, 2, …, m, 若λ的先验密度π (λ| a, b) 由式 (2) 给出, 则:
1) 在二次方损失下, λ的Bayes估计为
2) 若a和b的先验分布为区间D2上的均匀分布, λ的新Bayes估计为
证明 1) 对寿命服从指数分布的产品进行m次定时截尾试验, 若在第i次定时截尾试验中, 有Xi个样品失效, 根据文献
其中 ri = 0, 1, 2, …, ni, i = 1, 2, …, m。
则 λ 的似然函数为 (每次试验是相互独立的)
其中
若λ的先验密度π (λ|a, b) 由式 (2) 给出, 记
其中 0 <λ < ∞, Γ (a) =∫∞0ta-1exp (-t) dt为Gamma函数。
则在二次方损失下, λ 的Bayes估计为
2) 若a和b的先验分布为区间D2上的均匀分布, 根据定义2, 则 λ 的新Bayes估计为
《4 数值例》
4 数值例
《4.1 某型发动机试验数据的处理》
4.1 某型发动机试验数据的处理
对35台某型发动机进行定时截尾试验, 获得的试验数据见表1。
Table 1 Test data of some engine
《表1》
i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
ti /h | 56 | 124 | 337 | 478 | 609 | 815 | 1 156 | 1 480 |
ni | 2 | 3 | 3 | 5 | 4 | 5 | 6 | 5 |
ri | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 2 | 1 |
ei | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 2 | 4 | 5 |
si | 2 | 5 | 8 | 13 | 17 | 22 | 28 | 35 |
根据表1、定理1, 经计算得到pi的新Bayes估计
Table 2 Result for new Bayesian estimate
《表2》
c | i | |||||||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
2 | 0.120 993 | 0.069 959 | 0.049 247 | 0.099 703 | 0.078 753 | 0.104 052 | 0.149 935 | 0.148 606 |
3 | 0.109 141 | 0.065 656 | 0.047 037 | 0.096 594 | 0.076 788 | 0.101 973 | 0.147 517 | 0.146 651 |
4 | 0.099 888 | 0.061 983 | 0.045 069 | 0.093 729 | 0.074 947 | 0.100 000 | 0.145 200 | 0.144 763 |
5 | 0.092 406 | 0.058 799 | 0.043 303 | 0.091 076 | 0.073 219 | 0.098 125 | 0.142 977 | 0.142 938 |
6 | 0.086 195 | 0.056 004 | 0.041 706 | 0.088 611 | 0.071 591 | 0.096 339 | 0.140 842 | 0.141 172 |
7 | 0.080 936 | 0.053 526 | 0.040 253 | 0.086 313 | 0.070 055 | 0.094 637 | 0.138 788 | 0.139 463 |
8 | 0.076 409 | 0.051 309 | 0.038 923 | 0.084 164 | 0.068 602 | 0.093 011 | 0.136 812 | 0.137 807 |
极差 | 0.044 584 | 0.018 650 | 0.010 324 | 0.015 539 | 0.010 151 | 0.011 041 | 0.013 123 | 0.010 799 |
从表2可以看出, 对不同的c (2≤c ≤8) ,
设该发动机的寿命服从Weibull分布, 根据文献
其中:
由此可得可靠度的估计为
根据表2和式 (3) , 计算得参数m和η 的加权最小二乘估计 (2≤c ≤8) , 结果列于表3。
根据表3、式 (4) , 可得可靠度的估计 (2≤c ≤8) , 其结果列于表4。
Table 3 Weighted least squared estimate of m and η
《表3》
c | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 极差 |
0.505 967 | 0.511 826 | 0.517 477 | 0.522 921 | 0.528 165 | 0.533 218 | 0.538 092 | 0.032 125 | |
54 902.16 | 54 748.74 | 54 592.52 | 54 441.68 | 54 300.03 | 54 169.16 | 54 049.51 | 852.65 |
Table 4 Estimate
《表4》
c | t / h | ||||||
100 | 300 | 600 | 900 | 1 200 | 1 500 | 1 800 | |
2 | 0.959 732 | 0.930849 | 0.903 246 | 0.882 557 | 0.865 449 | 0.850 629 | 0.837 434 |
3 | 0.961 110 | 0.932763 | 0.905 521 | 0.885 030 | 0.868 048 | 0.853 313 | 0.840 175 |
4 | 0.962 390 | 0.934554 | 0.907 657 | 0.887 358 | 0.870 497 | 0.855 844 | 0.842 764 |
5 | 0.963 584 | 0.936234 | 0.909 669 | 0.889 554 | 0.872 812 | 0.858 240 | 0.845 216 |
6 | 0.964 698 | 0.937812 | 0.911 567 | 0.891 631 | 0.875 006 | 0.860 513 | 0.847 545 |
7 | 0.965 742 | 0.939299 | 0.913 362 | 0.893 602 | 0.877 090 | 0.862 676 | 0.849 763 |
8 | 0.966 720 | 0.940703 | 0.915 064 | 0.895 474 | 0.879 074 | 0.864 738 | 0.851 880 |
极差 | 0.006 989 | 0.009854 | 0.011 818 | 0.012 917 | 0.013 625 | 0.014 109 | 0.014 446 |
从表3、表4的结果看, 对不同c (2≤ c ≤8) , 虽然m和η 的加权最小二乘估计
《4.2 某型电子元件试验数据的处理》
4.2 某型电子元件试验数据的处理
对41个某型电子元件进行定时截尾试验, 获得的试验数据见表5。
设该型电子元件的寿命服从指数分布, 根据表5和定理2, 计算的失效率的新Bayes估计
从表6的结果看, 对不同的 c (20 ≤ c ≤5 000) , 极差为0.130×10-4, 因此失效率的新Bayes估计
Table 5 Test data of some electron organ
《表5》
i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
ti / h | 102 | 149 | 237 | 452 | 607 | 891 | 1 024 | 1 258 | 1 447 |
ni | 3 | 2 | 4 | 5 | 7 | 5 | 6 | 4 | 5 |
ri | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 2 | 0 | 1 |
Table 6 New Bayesian estimate
《表6》
c | 20 | 100 | 300 | 600 | 1 000 | 2 000 | 3 000 | 4 000 | 5 000 | 极差 |
1.778 | 1.776 | 1.770 | 1.761 | 1.750 | 1.723 | 1.697 | 1.672 | 1.648 | 0.130 |
《5 结语》
5 结语
根据定理1、定理2, 不进行数值积分就可得到失效概率、失效率的新Bayes估计结果, 便于在工程中实际使用。通过两个数值例, 可以看到常数c的确定方法, 使相应的参数估计是稳健的。
笔者推广了参数估计中的Bayes估计法, 提出的可靠性参数的一种方法——新Bayes估计法, 新Bayes估计法, 实质上是在通常意义下的Bayes估计的一种推广, 这种推广实质上是把先验分布中的a, b从已知的常数推广到了区域D (由超参数a和b的取值范围构成) 上的变量。
Table 7 Estimate
《表7》
c | ti / h | |||||||
100 | 300 | 500 | 700 | 900 | 1 100 | 1 300 | 1 500 | |
20 | 0.982 38 | 0.948 06 | 0.914 94 | 0.882 97 | 0.852 13 | 0.822 36 | 0.793 63 | 0.765 90 |
100 | 0.982 40 | 0.948 12 | 0.915 03 | 0.883 10 | 0.852 28 | 0.822 54 | 0.793 84 | 0.766 13 |
300 | 0.982 46 | 0.948 29 | 0.915 30 | 0.883 47 | 0.852 74 | 0.823 08 | 0.794 45 | 0.766 82 |
6 600 | 0.982 54 | 0.948 54 | 0.915 72 | 0.884 03 | 0.853 43 | 0.823 90 | 0.795 38 | 0.767 86 |
1 000 | 0.982 65 | 0.948 85 | 0.916 22 | 0.884 71 | 0.854 28 | 0.824 89 | 0.796 52 | 0.769 13 |
2 000 | 0.982 92 | 0.949 62 | 0.917 46 | 0.886 38 | 0.856 36 | 0.827 35 | 0.799 33 | 0.772 25 |
3 000 | 0.983 17 | 0.950 35 | 0.918 65 | 0.888 00 | 0.858 36 | 0.829 72 | 0.802 03 | 0.775 27 |
4 000 | 0.983 42 | 0.951 08 | 0.919 80 | 0.889 55 | 0.860 30 | 0.832 00 | 0.804 64 | 0.778 18 |
5 000 | 0.983 66 | 0.951 76 | 0.920 90 | 0.891 05 | 0.862 16 | 0.834 20 | 0.807 16 | 0.780 98 |
极差 | 0.001 28 | 0.003 70 | 0.005 96 | 0.008 08 | 0.010 03 | 0.011 84 | 0.013 53 | 0.015 08 |
新Bayes估计法不仅适用于可靠性参数的估计, 而且还适用于其他参数估计问题。
致谢:感谢张尧庭教授的指导和鼓励。