《1 前言》

1 前言

如今，各种材料组合的复合层压板广泛应用于 航天、军事及民用领域，其优异的力学性能得到了 众多行业的认可。蜂窝夹层板是由上下各一层厚 度较薄、刚度较大的材料与刚度较小的蜂窝芯层胶 合而成的三层结构的复合层压板，蜂窝芯可以是纸 蜂窝、铝蜂窝等金属蜂窝，其中，基于纸蜂窝芯的木 质夹层板由于其优异的比强度、比刚度性能广泛应 用于包装行业、家具制造等民用领域[1~4] 。

当夹心结构梁（板）承受弯曲载荷时，上面板承 受压应力，下面板承受拉应力，芯子主要承受剪切 力，这种结构与工字梁相似，面板相当于工字梁的 翼缘，芯板相当于工字梁的腹板，随面板之间夹层 厚度的增加，整个剖面的惯性矩呈幂级数增大[5，6] 。 最大弯曲正应力是衡量夹层梁（板）弯曲性能的重 要参数之一，许多学者经常用传统单层梁理论计算 最大弯曲正应力[4，7，8] 。由于夹层梁是由不同材料组 成，每一层材料的弹性模量有时差异较大，用单层梁理论计算的最大正应力值往往误差很大。因此 笔者推导了夹层梁等效弹性模量的表达式，并在此 基础上修正了传统单层梁理论计算最大弯曲正应 力的公式，最后将不同的计算方法进行对比分析。

《2 理论推导》

2 理论推导

《2.1 单层梁横截面最大弯曲正应力》

2.1 单层梁横截面最大弯曲正应力

式（1）中，σb 为横截面最大弯曲正应力；Pmax 为破坏 载荷；L 为两支座间的距离；b 为夹层梁的宽度；h 为夹层梁的厚度。

《2.2 夹层梁的等效弹性模量》

2.2 夹层梁的等效弹性模量

为了计算夹层梁横截面最大弯曲正应力，首先 将夹层梁等效成同截面尺寸的均质单层梁，推导出 夹层梁的等效抗弯刚度和等效弹性模量，然后根据 材料力学的理论计算而得。图 1 为受力分析示 意图。

《图1》

图1 三点弯曲试验的受力分析示意图

Fig.1 Three-point bending test of sandwich beam

如图1所示，根据经典层合梁理论[5] ，蜂窝夹层 梁的抗弯刚度可表示为：

式（2）中，为等效抗弯刚度； 为第 层的弹性模量； 为 (+1) 层的Z轴坐标； 为 层的Z轴坐标。

由于芯层蜂窝弹性模量很小，中间层可忽略不计，并且上下表板对称设置，则式（2）可简化为：

式（3）中， ； 为表板弹性模量； 为表板厚度； 为芯层厚度。

如果将夹层梁等效成相同截面尺寸的均质单层梁，则等效截面惯性矩 I eq 可表示为：

将式（4）代入式（3）中，推出：

式（5）中， E eq 指夹层梁等效弹性模量。

整理式（5），推出：

式中，。

下面来分析不同的夹心结构对 值的影响。由 图2 可知，随着芯层与总厚度比的增加， 值逐渐减 小。当这种比值等于0.3时， 等于0.97，这说明当 芯层与总厚度的比小于 0.3 时，可以将表板的弹性模量近似成夹层梁的等效弹性模量。

《图2》

图2 不同的夹层结构对 k 值的影响

Fig.2 The effect of sandwich construction on value of k

《2.3 夹层梁横截面最大正应力》

2.3 夹层梁横截面最大正应力

根据材料力学中的公式[9，10] ，并将夹层梁的抗弯 刚度进行置换，可推出：

式中，σf 指表板正应力；M 指横截面弯矩；Z 为Z 轴 坐标值；σc 指芯层蜂窝正应力；Ec 指芯层蜂窝弹 性模量。

对于纸蜂窝而言，忽略其面内刚度，即 Ec ≈ 0 ， 我们推出 σc ≈ 0 。横截面正应力分布见图 3，即芯 层中正应力可忽略不计，正应力从芯层与表板的接 触面开始向表板方向线性增加，上表板承受压应 力，下表板承受拉应力，应力最大值出现在上下表 板的外表面上。

《图3》

图3 夹层梁横截面正应力分布

Fig.3 The distribution of normal stress along cross-sectional of sandwich beam

将式（6）代入式（7）中，推出：

进行夹层梁三点弯曲试验时，加载点处的弯矩可表示为：

式（10）中， P 为横向载荷。

将式（10）与式（4）代入式（9）中，推出：

根据最大弯曲正应力的定义 ，它是指当， P=P max 时的正应力，则式（11）可变换为：

发现式（12）与式（1）形式基本相同，二者之间 仅相差一个系数 ，而该系数与夹层结构的关系 见图 2。当芯层厚度与总厚度比小于 0.3 时，系数 的值界于1.0~1.03，这说明两种方法计算的最大 弯曲正应力可近似一样。但当芯层厚度与总厚度 的比大于 0.3 时，两种方法计算的最大弯曲正应力 具有明显的差异。

《3 算例》

3 算例

设 Pmax = 200 N ，L = 350 mm ，b = 60 mm ，h = 20 mm 或 40 mm ，Ec ≈ 0 。

为了验证修正单层梁理论的有效性，本文引用 基于层合梁理论计算最大弯曲正应力的公式作为 对比[10] ：

由图4、图5可知，模拟三点弯曲试验时，修正单 层梁理论与层合梁理论计算的结果是一致的，这说 明修正单层梁理论预测夹层梁最大弯曲正应力是 有效的。当破坏载荷与夹层梁横截面的尺寸一定 时，基于单层梁理论计算的最大正应力值是固定 的，它与芯层厚度之间并没有直接关系。而随着夹 层梁芯层与总厚度比的增加，修正单层梁理论计算 的最大正应力值逐渐增加。当夹层梁芯层与总厚 度比小于 0.3 时，修正单层梁理论与单层梁理论计 算的最大正应力差异值小于3 %，也就是说该种结 构的夹层梁可直接等效成同截面的均质梁；而当芯 层与总厚度比为0.9时，这种差异值增加到3.69倍。

《图4》

图4 夹层梁横截面最大正应力（h=20 mm）

Fig.4 The maximum normal stress of sandwich beam（h=20 mm）

《图5 》

图5 夹层梁横截面最大正应力（h=40 mm）

Fig.5 The maximum normal stress of sandwich beam（h=40 mm）

《4 结语》

4 结语

本文建立了将软夹芯夹层梁等效成等截面均 质单层梁计算最大弯曲正应力的方法，并在此基础 上进行算例研究，结果表明：模拟三点弯曲试验时， 修正单层梁理论与层合梁理论计算的结果是一致 的。当破坏载荷与夹层梁横截面的尺寸一定时，随 着芯层与总厚度比的增加，修正单层梁理论计算的 最大正应力值逐渐增加而单层梁理论计算的结果为一恒定值。