An Adaptive Demodulation Method for BPSK Signals

Abstract

The paper presents a novel method for demodulating the binary phase shift keying (BPSK) signals basing on adaptive filtering. The commonly used least mean square (LMS) error adaptive filtering algorithm is employed for studying the demodulating procedure and the performance of the novel adaptive BPSK demodulation. The novel adaptive BPSK demodulation does not need the adaptive filter completing convergence. The performance of the method in theory is compared with computer simulating results. It shows that the error rates in simulation agree well with that in theory. Also, it is indicated that the demodulation method has many advantages over conventional ones, such as the powerful anti-noise ability, the small transfer delay, and the convenient implementation with DSP technology, and has lower error rates than correlation modulation at the same sample rate.

Content

自适应滤波技术在通信领域中应用相当广泛, 如自适应均衡、自适应频率跟踪与检测和自适应干扰抵消等。近些年来, 出现了自适应技术应用于数字通信信号直接解调 (自适应解调, ADEM) 。自适应解调具有算法简单, 便于实现数字信号处理技术, 兼有锁相和相关解调的功能, 适当调整跟踪步长可以获得较小的数据传输延迟, 并获得优良的解调性能 ^[1]。但是文献[1,2,3]提出的自适应解调是通过提取自适应单频跟踪器 (AFT) 输出的包络来实现解调, 没有充分利用自适应解调具有相关解调的优良性能, 而且给出的误码性能只是计算机模拟结果, 没有理论计算公式。文献[4,5]提出的自适应解调是在较高的过采样率下才有较好误码性能。针对这些情况提出新型的自适应解调算法。

《1 LMS自适应干扰抵消器》

1 LMS自适应干扰抵消器

自适应干扰抵消器如图1所示, 采用横向滤波器的形式, 滤波器的权用实数型的LMS算法进行更新 ^[6]。

《图1》

图1 干扰抵消器及自适应解调

Fig.1 Block diagram of adaptive interference canceller and adaptive demodulation

主输入为

$d (n) = s (n) + A_{0} \cos (ω_{0} n + ϕ_{0}) (1)$ $d (n) = s (n) + A_{0} \cos (ω_{0} n + ϕ_{0}) (1)$

参考输入为

$u (n) = A c o s (ω_{0} n + ϕ_{0}) (2)$ $u (n) = A c o s (ω_{0} n + ϕ_{0}) (2)$

滤波方程为

$y (n) = \sum_{i = 0}^{Μ - 1} \hat{w}_{i} (n) u (n - i) (3)$ $y (n) = \sum_{i = 0}^{Μ - 1} \hat{w}_{i} (n) u (n - i) (3)$

误差为

$e (n) = d (n) - y (n) (4)$ $e (n) = d (n) - y (n) (4)$

权系数更新方程为

$\begin{array}{l} \hat{w}_{i} (n + 1) = \hat{w}_{i} (n) + μ u (n - i) e (n), \\ i = 0, 1, \dots, Μ - 1 (5) \end{array}$ $\begin{array}{l} \hat{w}_{i} (n + 1) = \hat{w}_{i} (n) + μ u (n - i) e (n), \\ i = 0, 1, \dots, Μ - 1 (5) \end{array}$

其中M是横向滤波器长度, μ是控制稳定性和收敛速度的步长因子。式 (4) 中e (n) 为消除正弦干扰的信号。若以e (n) 作为输出, 滤波器就是干扰对消器。它相当于一个具有非常高Q值的陷波器, 能把正弦信号分离开来。若以y (n) 作为输出, 则这个滤波器就是单频跟踪器 (AFT) 。y (n) 能跟踪主输入信号中的正弦信号, 当滤波器收敛时, 能达到同频、同幅、同相, 即

$\lim_{n \to \infty} y (n) = A_{0} \cos (ω_{0} n + ϕ_{0}) 。$ $\lim_{n \to \infty} y (n) = A_{0} \cos (ω_{0} n + ϕ_{0}) 。$

《2 BPSK自适应解调原理》

2 BPSK自适应解调原理

《2.1BPSK自适应解调基本原理》

2.1BPSK自适应解调基本原理

图1中, 把参考输入u (n) 作为本地同步载波, 把主输入d (n) 中的s (n) 当作加性高斯白噪声, A₀cos (ω₀n+ϕ₀) 当作BPSK调制信号的同步采样信号。在某个码元持续时间T_sym内观察时, 有

$d (n) = {\begin{cases} A_{0} \cos (ω_{0} n) + s (n) 在发数字 0 ‚ \\ A_{0} \cos (ω_{0} n + π) + s (n) 当发数字 1 时 \end{cases} (6)$ $d (n) = {\begin{cases} A_{0} \cos (ω_{0} n) + s (n) 在发数字 0 ‚ \\ A_{0} \cos (ω_{0} n + π) + s (n) 当发数字 1 时 \end{cases} (6)$

在一个码元传输期间滤波器收敛时, 有

$y (n) = {\begin{cases} A_{0} \cos (ω_{0} n) 当发数字 0 ‚ \\ A_{0} \cos (ω_{0} n + π) 当发数字 1 \end{cases} (7)$ $y (n) = {\begin{cases} A_{0} \cos (ω_{0} n) 当发数字 0 ‚ \\ A_{0} \cos (ω_{0} n + π) 当发数字 1 \end{cases} (7)$

因此y (n) 能跟踪BPSK调制信号, 即在一个码元传输结束时, 若滤波器收敛, 则y (n) 包含了该码元的全部信息, 从y (n) 中能解调出BPSK调制的信号。如果横向滤波器的长度M取1, 一个码元结束滤波器收敛时式 (3) 变为

$\begin{array}{l} y (n) = \hat{w} (n) A c o s (ω_{0} n + ϕ_{0}) = \\ A_{0} \cos (ω_{0} n + ϕ_{0}) (8) \end{array}$ $\begin{array}{l} y (n) = \hat{w} (n) A c o s (ω_{0} n + ϕ_{0}) = \\ A_{0} \cos (ω_{0} n + ϕ_{0}) (8) \end{array}$

即

$\lim_{n \to \infty} \hat{w} (n) = {\begin{cases} A_{0} / A 当发数字 0 ‚ \\ - A_{0} / A 当发数字 1 \end{cases} (9)$ $\lim_{n \to \infty} \hat{w} (n) = {\begin{cases} A_{0} / A 当发数字 0 ‚ \\ - A_{0} / A 当发数字 1 \end{cases} (9)$

这样在一个码元传输过程中一阶横向自适应滤波器收敛时, 对滤波器的权 $\hat{w}$ $\hat{w}$ (n) 进行判决就得到BPSK的解调信号。

《2.2BPSK自适应解调实用算法》

2.2BPSK自适应解调实用算法

由于自适应滤波器收敛要经过较长一段时间, 上述算法不太适用于BPSK信号的实时解调, 因此修改为

$v (n) = w_{o} - \hat{w} (n) (10)$ $v (n) = w_{o} - \hat{w} (n) (10)$

假设自适应步长较小,

$E [v (n)] = v (0) (1 - μ λ)^{n} (11)$ $E [v (n)] = v (0) (1 - μ λ)^{n} (11)$

成立 ^[6], 其中w_o是最佳权值, $\hat{w}$ $\hat{w}$ (n) 是第n时刻的权值估计。μ是输入信号u (n) 的自相关矩阵的特征值。取λ=A²/2。

滤波器的权调整从每一个码元起始时开始, 若权的初始值取 $\hat{w} (0) = 0$ $\hat{w} (0) = 0$ , 因此由式 (10) 得

$v (0) = w_{o} (12)$ $v (0) = w_{o} (12)$

假设在每一个BPSK码元时间内采样k次。当n=k时, 由式 (10) 至式 (12) 得

$w_{o} = E [\hat{w} (k)] / [1 - (1 - μ λ)^{k}] (13)$ $w_{o} = E [\hat{w} (k)] / [1 - (1 - μ λ)^{k}] (13)$

w_o的估计值取

$\hat{w}_{o} = \hat{w} (k) / [1 - (1 - μ λ)^{k}] (14)$ $\hat{w}_{o} = \hat{w} (k) / [1 - (1 - μ λ)^{k}] (14)$

由式 (13) 和式 (14) 可见, $\hat{w}$ $\hat{w}$ _o是w_o的无偏估计。以 $\hat{w}$ $\hat{w}$ _o作为BPSK的解调信号是无偏的, 无需等到滤波器完成收敛, 只需一定的迭代次数k。

《3 BPSK自适应解调性能分析》

3 BPSK自适应解调性能分析

《3.1理论分析》

3.1理论分析

在较小的自适应步长下, v (n) 均方值为 ^[6]

$\begin{array}{l} E [v^{2} (n)] = μ J_{\min} / (2 - μ λ) + \\ (1 - μ λ)^{2 n} (v^{2} (0) - μ J_{\min} / (2 - μ λ)) (15) \end{array}$ $\begin{array}{l} E [v^{2} (n)] = μ J_{\min} / (2 - μ λ) + \\ (1 - μ λ)^{2 n} (v^{2} (0) - μ J_{\min} / (2 - μ λ)) (15) \end{array}$

由文献[6]知, J_min即为加性噪声s (n) 的方差σ $_{n}^{2}$ $_{n}^{2}$ 或功率N。

把式 (12) 代入式 (15) 得

$\begin{array}{l} E [v^{2} (k)] = μ J_{\min} / (2 - μ λ) + \\ (1 - μ λ)^{2 k} (w_{o}^{2} - μ J_{\min} / (2 - μ λ)) (16) \end{array}$ $\begin{array}{l} E [v^{2} (k)] = μ J_{\min} / (2 - μ λ) + \\ (1 - μ λ)^{2 k} (w_{o}^{2} - μ J_{\min} / (2 - μ λ)) (16) \end{array}$

由式 (13) 和式 (14) 可得

$\begin{array}{l} D \hat{w}_{o} = E [\hat{w}_{o}^{2}] - E^{2} [\hat{w}_{o}] = \\ E [\hat{w}^{2} (k)] / [1 - (1 - μ λ)^{k}]^{2} - w_{o}^{2} (17) \end{array}$ $\begin{array}{l} D \hat{w}_{o} = E [\hat{w}_{o}^{2}] - E^{2} [\hat{w}_{o}] = \\ E [\hat{w}^{2} (k)] / [1 - (1 - μ λ)^{k}]^{2} - w_{o}^{2} (17) \end{array}$

由式 (10) 、式 (13) 和式 (16) 可得

$\begin{array}{l} E [\hat{w}^{2} (k)] = E [v^{2} (k)] - w_{o}^{2} + 2 w_{o} E [\hat{w} (k)] = \\ E [v^{2} (k)] - w_{o}^{2} + 2 w_{o} w_{o} [1 - (1 - μ λ)^{k}] = \\ \frac{μ J_{\min}}{2 - μ λ} + (1 - μ λ)^{2 k} (w_{o}^{2} - \frac{μ J_{\min}}{2 - μ λ}) - \\ w_{2}_{o} + 2 w_{o}^{2} [1 - (1 - μ λ)^{k}] (18) \end{array}$ $\begin{array}{l} E [\hat{w}^{2} (k)] = E [v^{2} (k)] - w_{o}^{2} + 2 w_{o} E [\hat{w} (k)] = \\ E [v^{2} (k)] - w_{o}^{2} + 2 w_{o} w_{o} [1 - (1 - μ λ)^{k}] = \\ \frac{μ J_{\min}}{2 - μ λ} + (1 - μ λ)^{2 k} (w_{o}^{2} - \frac{μ J_{\min}}{2 - μ λ}) - \\ w_{2}_{o} + 2 w_{o}^{2} [1 - (1 - μ λ)^{k}] (18) \end{array}$

再把式 (18) 代入式 (17) 得

$\begin{array}{l} D \hat{w}_{o} = \frac{1}{(1 - (1 - μ λ)^{k})^{2}} {\frac{μ J_{\min}}{2 - μ λ} + \\ (1 - μ λ)^{2 k} (w_{o}^{2} - \frac{μ J_{\min}}{2 - μ λ}) - \\ w_{o}^{2} + 2 w_{o}^{2} [1 - (1 - μ λ)^{k}]} - w_{o}^{2} = \\ \frac{μ J_{\min}}{2 - μ λ} \ 5 \frac{1 + (1 - μ λ)^{k}}{1 - (1 - μ λ)^{k}} \approx \frac{J_{\min}}{k λ} (19) \end{array}$ $\begin{array}{l} D \hat{w}_{o} = \frac{1}{(1 - (1 - μ λ)^{k})^{2}} {\frac{μ J_{\min}}{2 - μ λ} + \\ (1 - μ λ)^{2 k} (w_{o}^{2} - \frac{μ J_{\min}}{2 - μ λ}) - \\ w_{o}^{2} + 2 w_{o}^{2} [1 - (1 - μ λ)^{k}]} - w_{o}^{2} = \\ \frac{μ J_{\min}}{2 - μ λ} \ 5 \frac{1 + (1 - μ λ)^{k}}{1 - (1 - μ λ)^{k}} \approx \frac{J_{\min}}{k λ} (19) \end{array}$

在较小的自适应步长条件下, $\hat{w}$ $\hat{w}$ _o近似为正态分布。 $\hat{w}$ $\hat{w}$ _o大于等于零时判为“0”, 小于零时判为“1”。在各符号概率相等条件下可求得该自适应BPSK解调的误码率为

$\begin{array}{l} Ρ_{b} = Q (A_{0}^{2} / A^{2} D \hat{w}_{o})^{1 / 2} = \\ Q (k A_{0}^{2} / 2 J_{\min})^{1 / 2} = Q (k S / J_{\min})^{1 / 2} (20) \end{array}$ $\begin{array}{l} Ρ_{b} = Q (A_{0}^{2} / A^{2} D \hat{w}_{o})^{1 / 2} = \\ Q (k A_{0}^{2} / 2 J_{\min})^{1 / 2} = Q (k S / J_{\min})^{1 / 2} (20) \end{array}$

其中S是信号功率。

假设接收机按抽样定理采样, 则有

$2 ε_{b} / Ν_{0} = (S / Ν) (Τ_{s y m} / Τ_{s}) = S k / J_{\min} (21)$ $2 ε_{b} / Ν_{0} = (S / Ν) (Τ_{s y m} / Τ_{s}) = S k / J_{\min} (21)$

把式 (21) 代入式 (20) 得该方法的误码率

$Ρ_{b} = Q (S k / J_{\min})^{1 / 2} = Q (2 ε_{b} / Ν_{0})^{1 / 2} (22)$ $Ρ_{b} = Q (S k / J_{\min})^{1 / 2} = Q (2 ε_{b} / Ν_{0})^{1 / 2} (22)$

也是相关解调的误码率 ^[7]。在较小的迭代步长下, BPSK自适应解调与相关解调在理论上有相同的误码率。式 (21) 和式 (22) 中ε_b是一个码元的能量, N₀是噪声单边带功率谱密度, N=J_min是噪声功率, T_sym是码元周期, T_s是接收机采样周期。

《3.2计算机模拟》

3.2计算机模拟

取载波频率f_c=10 kHz, 采样频率f_s=50 kHz, 码元长度T_sym=1 ms, 自适应步长μ=0.002, 进行计算机模拟自适应BPSK解调的误码率, 同时画出了自适应BPSK解调的理论误码率, 如图2所示, 可见计算机模拟的误码率与理论计算的非常接近。

《图2》

图2 自适应BPSK解调的计算机模拟与理论误码率比较

Fig.2 Comparison of error probability of adaptive BPSK demodulation in simulations and that in theory

取载波频率f_c=10 kHz, 采样频率f_s=30 kHz, 码元长度T_sym=1 ms, 对BPSK 信号进行相关解调计算机模拟;取μ=0.002, 在相同的条件下, 对BPSK 信号进行自适应解调计算机模拟。两者的误码性能如图3所示, 可见在相同的条件下, 自适应解调的误码率比相关解调的误码率优, 信噪比越大, 优越性越明显。

《图3》

图3 在相同的采样频率下, BPSK自适应解调与相关解调的误码率比较

Fig.3 At the same sample rate, comparison of error probability of adaptive BPSK demodulation and that of correlation demodulation in simulations

《4 结语》

4 结语

自适应BPSK解调是BPSK数字解调的一种较好实现方法。自适应解调的误码率在理论上与相关解相同, 但在数字实现上优于相关解调。由于使用简单的LMS算法, 而且不需要滤波器完成收敛, 对采样速度和数字处理速度都要求不高, 因此所提出的自适应解调方法更适用于DSP技术实现。该自适应解调方法同样适用于其他调制信号的解调, 如FSK, QAM, 具有很好的实用性和推广价值。

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