The Mathematic Model of Medium-sized Agro-ecological Engineering

Abstract

Mathematic model of agricultural eco-engineering is to represent the knowledge of system*s present situation, function and structure. Based on study and analysis, a mathematic model of medium-sized agro-ecological engineering—Liuminying ecological agro-systemisis established. This system consists of eight branch rooms. The state variables and the control variables for each branch room are given and the mathematical models for the branch rooms are also built. The mathematical model has been applied to guiding the pratical production in Luiminying Villnge and satisfactory results are achieved.

Content

农业生态工程特别是大、中型工程的数学模型的建立是十分困难的 ^[1], 要使模型有效, 必须模拟实际系统, 至少在某种有效的范围内, 包括重要的变量, 用数学表达。而一个中型 (村庄级) 农业生态工程系统的变量, 至少需要200多个。而系统的最优化问题则更为困难。本文以北京大兴县留民营村 (见封底) 为例, 在系统、深入分析其结构的基础上 ^[2], 建立了系统的分室模型, 并应用计算机对系统的动态进行了模拟和研究, 以达到对系统进行深入、定量研究之目的。

《1 留民营生态系统的结构和系统变量》

1 留民营生态系统的结构和系统变量

留民营作为一个生态系统, 在构造它的数学模型时, 主要考虑了以作物为主的初级生产者子系统, 以畜禽饲养为主的初级消费者子系统和把动物粪便和农业秸杆转化为肥料的分解者子系统。一个生态农业系统是一种典型的人工生态系统, 人对整个系统的控制以及由此而引起的系统反馈作用是必须考虑在内的, 因此在系统模型中又加入了人口子系统。饲料和粮食加工也做为一个子系统加入模型。沼气池作为一个分室归入分解者子系统。化肥的使用是农业生产中一个不可忽视的重要因素, 它作为一个分室列入生产者子系统。

农业生态系统也是个控制、反馈系统, 在模型中, 对系统的控制将由一些控制变量来实现, 系统的某些反馈作用将通过一些系统变量的阈值给出。

为研究和叙述的方便, 把某些子系统中功能类似的成分合并成若干分室, 其余的子系统分别作为单个的分室而构成一个分室系统模型。在生产者子系统中把作物、蔬菜、水果与化肥分开成为作物、化肥两个分室。在初级消费者子系统中, 由于渔塘作为一个水生生态系统和陆地生态系统有很大的不同, 它本身就是一个完整的生态系统。但本研究中把它做为黑箱处理, 关心的只是它的输入和输出, 因此在模型中也把它作为初级消费者子系统的一个分室。其它畜禽构成畜禽分室。分解者子系统将分为沼气和粪肥两个分室。连同人口和加工两个分室, 本模型将是一个包括八个分室的分室系统模型。分别用X⁽ⁱ⁾表示作物、化肥、畜禽、渔业、沼气、粪肥、人口和加工分室, 其中i=1, 2, 3, 4, …, 8。

在各个分室中, 考虑了如下的系统状态变量:

作物分室:包括水稻、小麦、大麦、青贮作物、棉花、蔬菜、油菜、果木及蘑菇等9种作物。主要考虑其经济产量 (粮、棉、菜、果等) 、秸杆和其它产量 (稻糠、棉籽等) 。并依次用X $_{c i}^{(1)}$ $_{c i}^{(1)}$ (t) , X $_{s i}^{(1)}$ $_{s i}^{(1)}$ (t) , X $_{o i}^{(1)}$ $_{o i}^{(1)}$ (t) , 表示上述作物在时间t时的经济、秸杆及其它产量, 其中, i=1, 2, …, 9。X¹_l (t) 为一般种植条件下所需的劳动力数量。

化肥分室:只考虑农田的化肥施用量。

畜禽分室:包括奶牛、菜牛、猪、马、鸡、鸭和填鸭等7种饲养畜禽, 其中除填鸭考虑为1年的饲养之外, 其它畜禽均包括它们不同的年龄组。考虑其存栏数 (包括年龄结构) , 蛋、奶、肉的产量及排粪量, 以及它们所需要的各种饲料:粮食 (玉米、高梁、大麦等) , 秸杆 (稻草、青饲料等) 及其他 (稻糠、麦麸) 等, 依次用X⁽³⁾_Ai (at) (i=1, 2, …, 7) 表示时间t, 年龄组a的上述畜禽的存栏数;用X $_{e i}^{(3)}$ $_{e i}^{(3)}$ (t) , X $_{m i}^{(3)}$ $_{m i}^{(3)}$ (t) , X $_{d i}^{(3)}$ $_{d i}^{(3)}$ (t) 表示时间t上述畜禽的蛋、奶产量, 出肉量和排粪量, 其中, i=1, 2, …, 7;用X $_{f c i}^{(3)}$ $_{f c i}^{(3)}$ (t) , X $_{f s i}^{(3)}$ $_{f s i}^{(3)}$ (t) , X $_{f o i}^{(3)}$ $_{f o i}^{(3)}$ (t) 表示上述畜禽在时间t对粮食、秸杆和其他饲料的需求量, 其中i=1, 2, …, 7。X $_{l}^{(3)}$ $_{l}^{(3)}$ (t) 为精养条件下所需劳动力数。

渔业分室: 将只考虑一年饲养的鱼类, 并假定单位渔塘面积放养的鱼苗数是固定的, 将考虑产鱼量X $_{f}^{(4)}$ $_{f}^{(4)}$ (t) 和饲料的需要量X $_{f e}^{(4)}$ $_{f e}^{(4)}$ (t) 。

沼气分室: 包括沼气池所需要的马粪X $_{m d}^{(5)}$ $_{m d}^{(5)}$ (t) , 秸杆X $_{m s}^{(5)}$ $_{m s}^{(5)}$ (t) , 以及产出的沼气X $_{g}^{(5)}$ $_{g}^{(5)}$ (t) , 沼气肥X⁽⁵⁾_r (t) 。这里假设人粪将全部供给沼气池使用。

粪肥分室: 将考虑由剩余的秸杆和畜禽粪经沤制准备作为有机肥料而返回田间的数量X $_{d}^{(6)}$ $_{d}^{(6)}$ (t) 。

人口分室: 用X $_{p}^{(7)}$ $_{p}^{(7)}$ (a·t) 表示时间t年龄为a的人口数, X $_{l}^{(7)}$ $_{l}^{(7)}$ (t) 表示劳动力数, X $_{p c}^{(7)}$ $_{p c}^{(7)}$ (t) , X $_{e c}^{(7)}$ $_{e c}^{(7)}$ (t) 分别表示人口对粮食和牛奶的需求。

加工分室: 用X $_{o}^{(8)}$ $_{o}^{(8)}$ (t) 和X $_{f}^{(8)}$ $_{f}^{(8)}$ (t) 表示t时间加工业所需的原料和生产加工的饲料及食品。

控制变量: 系统中所考虑的控制变量有: 作物、蔬菜的种植计划, 用Y⁽¹⁾_t (t) , i=1, 2, …, 9依次表示前述作物在时间t的种植面积; 化肥使用计划Y $_{i}^{(2)}$ $_{i}^{(2)}$ (t) , i=1, 2, …, 9, 依次表示各作物t时间每亩的化肥施用量; 畜禽养殖计划 (指购买, 不包括自然繁殖) , 用Y $_{i}^{(3)}$ $_{i}^{(3)}$ (a·t) , i=1, 2, …, 7依次表示t时间购买的年龄a的上述畜禽的数量; 养鱼计划, Y⁽⁴⁾ (t) 表示t时间的渔塘总面积; 沼气发展计划, 用Y⁽⁵⁾_n (t) , Y⁽⁵⁾_d (t) , Y⁽⁵⁾_s (t) , Y⁽⁵⁾_g (t) , Y⁽⁵⁾_h (t) 分别表示t时间新建的沼气池的数量, 每个池所需的粪、秸杆以及产生的沼气和沼气肥 (沼气水和沼气渣) 的数量; 劳动力安排计划, Y $_{1}^{(7)}$ $_{1}^{(7)}$ (t) , Y $_{3}^{(7)}$ $_{3}^{(7)}$ (t) , Y $_{4}^{(7)}$ $_{4}^{(7)}$ (t) , Y $_{8}^{(7)}$ $_{8}^{(7)}$ (t) 分别表示作物、畜牧、养鱼和加工分室所分配的劳动力。

《2 系统模型的分室流程、基本假设及时滞效应》

2 系统模型的分室流程、基本假设及时滞效应

系统模型各分室之间的流程如图1所示。鉴于某些分室内的状态变量较多, 为便于对整个系统工作状况、工作原理的理解, 只给出了以分室为单位的流程。某些分室内部的动态将在数学模型一节中具体给出。计算机的模拟工作是依据实际模型得到的。

模型是在如下的基本假设下进行工作的:

1) 作物分室将为人口分室提供足够的粮菜和其他农副产品;

2) 由于养鱼业所需的劳动力及饲料不多, 故假定系统的人口分室及其他分室可为渔业提供充足的劳力及饲料;

3) 沼气池所产出的沼气渣、沼气水等肥料, 在供给鱼类需要后的剩余部分, 全部用于作物分室;

4) 作物秸杆中可用部分, 除充分供给畜牧分室作饲料以外, 其余部分全部供给沼气池和制造有机肥料使用。

由于农业生产周期是以年为单位的, 故系统模型在工作时, “时滞”的作用必须考虑在内。在上述的假设下, 系统模型中“时滞”效应如下:

1) “去年”作物分室的收获为“今年”的人口提供粮菜和为“今年”的畜禽提供饲料;

2) “去年”作物分室收获的秸杆为“今年”的沼气提供原料, 并且为今年作物栽培提供有机肥料;

3) “今年”的畜禽粪肥为“今年”的沼气提供原料并为“明年”的作物提供有机肥料;

4) “今年”的沼气渣、沼气水为“今年”的作物栽培提供肥料;

5) “今年”的人口分室为“今年”的各有关分室提供劳动力。

《图1》

图1 中型 (村庄型) 农业生态工程分室系统流程图 Fig.1 Branch room system flow diagram on midium-sized agro-ecological engineering

《3 阈值变量和系统反馈》

3 阈值变量和系统反馈

实际的农业生态系统往往是在一定的限制条件下工作的, 当这些条件不满足时, 要么系统不能工作, 要么系统将要改变其工作的参数或方式。例如, 系统中将要求作物分室中全部种植面积不超过全系统的可耕土地数 (如果不考虑复种的话) , 否则此系统将无法工作。又如分配给作物或畜禽分室的劳动力数甚少时, 将影响到作物的耕作方式 (由一般种植或精耕细作改变为粗放种植) 或饲养方式 (由精养到粗养) 。因此在模型中将引入一些变量来描述这种限制。在前面的基本假设下, 限制条件将转化为对这些变化范围的限制。一旦这些变量的数值超出给定的变化范围, 就要求通过控制变量对这些量进行调整, 或者改变系统模型的参数或其工作的模式。因此它反映了系统状态变量对整个系统模型的反馈作用, 称这一类变量为阈值变量。

模型中的阈值变量包括:

Z⁽⁰⁾ (t) ——系统提供的商品粮总数

$Ζ^{(0)} (t) = \sum_{i} X_{c i}^{(1)} (t - 1) - \sum_{j} X_{F c j}^{(3)} (t) - X_{p c}^{(7)} (t) - X_{c}^{(8)} (t) +$ $Ζ^{(0)} (t) = \sum_{i} X_{c i}^{(1)} (t - 1) - \sum_{j} X_{F c j}^{(3)} (t) - X_{p c}^{(7)} (t) - X_{c}^{(8)} (t) +$

X⁽⁸⁾_f (t) -X_y (t) ,

其中X_y (t) 为应缴的征购粮总数。要求Z⁽⁰⁾ (t) ≥Z⁽⁰⁾_y, Z⁽⁰⁾_y为系统应提供的最低商品粮总量。当Z⁽⁰⁾ (t) <Z⁽⁰⁾_y时, 按照模型的假设, 主要是由于畜禽饲养数量过高, 饲料消费过大所致。这时应通过畜禽购买计划的调整, 或者降低饲养水平 (减少饲料用量中的粮食成分) 来解决, 否则模型将停止工作。

Z⁽¹⁾ (t) ——总的种植面积

$Ζ^{(1)} (t) = \sum_{i} Y_{i}^{(1)} t$ $Ζ^{(1)} (t) = \sum_{i} Y_{i}^{(1)} t$ ,

要求Z⁽¹⁾ (t) ≤Z⁽¹⁾_*, Z⁽¹⁾_*为系统中可耕地的总面积。当Z⁽¹⁾ (t) >Z⁽¹⁾_*时, 则应改变种植计划Y $_{i}^{(1)}$ $_{i}^{(1)}$ (t) , 以调整此变量, 否则模型停止工作。

Z $_{i}^{(3)}$ $_{i}^{(3)}$ (t) ——第i种畜禽的存栏数

$Ζ_{i}^{(3)} (t) = \int_{0}^{\infty} X_{a i}^{(3)} (a, t) d a$ $Ζ_{i}^{(3)} (t) = \int_{0}^{\infty} X_{a i}^{(3)} (a, t) d a$

要求Z $_{i}^{(3)}$ $_{i}^{(3)}$ ≤Z $_{i * *}^{(3)}$ $_{i * *}^{(3)}$ , 这里Z $_{i * *}^{(3)}$ $_{i * *}^{(3)}$ 为第i种畜禽的最高存栏数。条件不满足时, 模型将停止工作。又令Z $_{i *}^{(3)}$ $_{i *}^{(3)}$ 为第i种畜禽的最低拥挤存栏数, 当Z $_{i *}^{(3)}$ $_{i *}^{(3)}$ <Z $_{i}^{(3)}$ $_{i}^{(3)}$ (t) ≤Z⁽³⁾_i**时表明第i种畜禽饲养较多, 在栏内呈拥挤状态, 因此将要对畜禽的增殖参数 (存活、生殖) 产生影响, 饲养方式也要变为粗放饲养。

Z⁽⁴⁾ (t) ——养鱼池面积

$Ζ^{(4)} (t) = \sum_{i} Y_{i}^{(1)} t$ $Ζ^{(4)} (t) = \sum_{i} Y_{i}^{(1)} t$ 。

要求Z⁽⁴⁾ (t) ≤Z⁽⁴⁾_*, Z⁽⁴⁾_*为系统中可供养鱼的最大面积, 工作状况与Z⁽¹⁾_c (t) 类似。

Z⁽⁵⁾ (t) ——沼气分室能够向作物分室提供的沼气肥料 (沼气渣、水) 的总量

Z⁽⁵⁾ (t) =X⁽⁵⁾_r (t) +X⁽⁵⁾_w (t) -X $_{f m}^{4}$ $_{f m}^{4}$ (t) 。

用[Z⁽⁵⁾_*, Z $_{* *}^{(5)}$ $_{* *}^{(5)}$ ]表示沼气肥在大田中的中等使用量, 则当Z⁽⁵⁾ (t) >Z $_{* *}^{(5)}$ $_{* *}^{(5)}$ 时, 大田呈高肥状态, Z⁽⁵⁾ (t) <Z⁽⁵⁾_*时, 为低肥状态。以此影响作物分室的生产模式。

Z⁽⁶⁾ (t) ——准备用于作物分室的有机肥总量

Z⁽⁶⁾ (t) =X⁽⁶⁾_d (t) ,

要求Z⁽⁶⁾ (t) ≥Z⁽⁶⁾_*, Z⁽⁶⁾_*为作物分室有机肥的最低施用量, 在我们的假设下, Z⁽⁶⁾ (t) <Z⁽⁶⁾_*, 则意味着沼气分室占用了过多的有机肥料, 则必须对沼气池修建的规模Y⁽⁵⁾ (t) 进行调整。否则作物分室将处于缺乏有机基肥的况状下进行工作, 这是不可取的, 只有令模型停止工作。

Z⁽⁷⁾ (t) ——系统中所需的劳动力总数

Z⁽⁷⁾ (t) =X $_{1}^{(1)}$ $_{1}^{(1)}$ (t) +X $_{1}^{(3)}$ $_{1}^{(3)}$ (t) +X⁽⁸⁾₁ (t) 。

要求Z⁽⁷⁾ (t) ≥Z⁽⁷⁾_* (t) , Z⁽⁷⁾_*为t时间人口分室所提供的劳动力总数。Z⁽⁷⁾_* (t) =∫ $_{a_{1}}^{a_{t}}$ $_{a_{1}}^{a_{t}}$ X⁽⁷⁾_p (a, t) da当Z⁽⁷⁾ (t) >Z⁽⁷⁾_* (t) 时, 表示系统发展规模过大, 系统本身不能提供足够的劳动力, 这时可以通过作物分室, 畜禽分室的控制变量进行调整, 或者通过劳动力的重新分配安排, 改变有关分室的工作模式来实现。

《4 分室系统的数学模型》

4 分室系统的数学模型

这里我们给出各分室状态变量变化的数学模型。

《4.1作物分室和化肥分室》

4.1作物分室和化肥分室

由于作物一般是一年收获一次, 因此把时间t取为以年为单位的离散变量是合适的。故我们在这里取:

t=K, K=1, 2, …。一般说来, 第i种作物的经济产量X $_{c i}^{(1)}$ $_{c i}^{(1)}$ (K) 将由如下的模型来描述。

X $_{c i}^{(1)}$ $_{c i}^{(1)}$ (K) =Y $_{i}^{(1)}$ $_{i}^{(1)}$ (K) P $_{c i}^{(1)}$ $_{c i}^{(1)}$ (Y $_{i}^{(2)}$ $_{i}^{(2)}$ (K) ) , Y $_{i}^{(2)}$ $_{i}^{(2)}$ (K-1) , Y $_{R i}^{(5)}$ $_{R i}^{(5)}$ (K) Y⁽⁷⁾₁ (K) ) 其中P_ci为第i种作物单位面积的经济产量, 它是化肥、沼气肥和大田劳动力的函数。如上节所讨论的, 依投入大田劳动力数量的多少P_ci将取粗放种植、一般种植、精耕细作三种模式;依赖于沼气肥的多少, P_ci将有高肥、中肥和低肥三种生长模式;对于化肥的依赖将随着当年化肥的施用量而增加, 还注意到了由于化肥的施用所造成的土地板结的影响, 将由前一年化肥的施用量产生一个负反馈效应。

关于秸杆和其它产量X $_{s i}^{(1)}$ $_{s i}^{(1)}$ (K) , X $_{o i}^{(1)}$ $_{o i}^{(1)}$ (K) 也与此类似。

《4.2畜禽分室》

4.2畜禽分室

由于各种畜禽的自然增殖及肉、蛋、奶的产量和排粪量是随着时间与畜禽年龄的变化在一年内连续发生的, 所以在建立模型时, 首先应把年龄a及时间t理解为连续的变量。

用P_i (r, t) 表示t时间年龄为r的第i种畜禽的种群密度, 则时间t, a岁 (满a周岁但不足a+1周岁) 的该种畜禽总数应用积分∫^a+1_aP_i (r, t) dr给出, 对于时间区间[t₀, t₁]及t_* [t₀, t₁], 系统中的畜禽将由两部分构成: 一为t₀时刻就是系统中存栏的畜禽, 用P^*_i (r, t) 表示其密度, 另一部分为在任一t_*时刻购买的, 密度为P $_{i}^{* *}$ $_{i}^{* *}$ (r, t) , 显然应有t∈[t₀, t₁]。如果令P $_{i}^{* *}$ $_{i}^{* *}$ (r, t) =0, t∈[t₀, t₁], 则有

$Ρ_{i} (r ‚ t) = Ρ_{i}^{*} (r ‚ t) + Ρ_{i}^{* *} (r ‚ t) 。$ $Ρ_{i} (r ‚ t) = Ρ_{i}^{*} (r ‚ t) + Ρ_{i}^{* *} (r ‚ t) 。$

于是时间t, a岁的第i种畜禽的存栏数应为X⁽³⁾_Ai (a, t) =∫ $_{a}^{a + 1}$ $_{a}^{a + 1}$ P_i (r, t) dt。

设μ_i (r) , f_i (r) 分别为r岁的第i种畜禽的死亡率和生育力 (需要指出, 这里μ_i (r) 并不只是畜禽的自然死亡率, 它也包括了作为肉类生产而屠宰或出售的比率) , 关于不同畜禽的增殖 (包括繁殖和购买) 有如下的模型:

4.2.1 奶牛、菜牛

$\begin{array}{l} {\begin{cases} \frac{\partial Ρ_{1}^{*}}{\partial r} + \frac{\partial Ρ_{1}^{*}}{\partial t} = - μ_{1} (r) Ρ_{1}^{*} (r, t) ‚ \\ \frac{\partial Ρ_{2}^{*}}{\partial r} + \frac{\partial Ρ_{2}^{*}}{\partial t} = - μ_{2} (r) Ρ_{2}^{*} (r, t) ‚ \\ t_{0} \leq t \leq t_{1} ； \end{cases} \\ {\begin{cases} Ρ_{1}^{*} (0 ‚ t) = Ρ_{1} \int_{0}^{\infty} f_{1} (r) Ρ_{1}^{*} (r, t) d r ‚ \\ Ρ_{2}^{*} (0 ‚ t) = \int_{0}^{\infty} [f_{2} (r) Ρ_{2}^{*} (r, t) + \\ ? q_{1} f_{1} (r) Ρ_{1}^{*} (r, t) d r] ‚ \\ Ρ_{1}^{*} (r, t_{0}) = Ρ_{10}^{*} (r), Ρ_{2}^{*} (r, t_{0}) = Ρ_{20}^{*} (r) 。 \end{cases} \end{array}$ $\begin{array}{l} {\begin{cases} \frac{\partial Ρ_{1}^{*}}{\partial r} + \frac{\partial Ρ_{1}^{*}}{\partial t} = - μ_{1} (r) Ρ_{1}^{*} (r, t) ‚ \\ \frac{\partial Ρ_{2}^{*}}{\partial r} + \frac{\partial Ρ_{2}^{*}}{\partial t} = - μ_{2} (r) Ρ_{2}^{*} (r, t) ‚ \\ t_{0} \leq t \leq t_{1} ； \end{cases} \\ {\begin{cases} Ρ_{1}^{*} (0 ‚ t) = Ρ_{1} \int_{0}^{\infty} f_{1} (r) Ρ_{1}^{*} (r, t) d r ‚ \\ Ρ_{2}^{*} (0 ‚ t) = \int_{0}^{\infty} [f_{2} (r) Ρ_{2}^{*} (r, t) + \\ ? q_{1} f_{1} (r) Ρ_{1}^{*} (r, t) d r] ‚ \\ Ρ_{1}^{*} (r, t_{0}) = Ρ_{10}^{*} (r), Ρ_{2}^{*} (r, t_{0}) = Ρ_{20}^{*} (r) 。 \end{cases} \end{array}$

其中P₁为奶牛所生的雌性小牛的比例, q₁=1-P₁, P^*₁₀ (r) , P^*₂₀ (r) 为t₀时刻的存栏密度。

$\begin{array}{l} {\begin{cases} \frac{\partial Ρ_{1}^{* *}}{\partial r} + \frac{\partial Ρ_{1}^{* *}}{\partial t} = - μ_{1} (r) Ρ_{1}^{* *} (r, t) ‚ \\ \frac{\partial Ρ_{2}^{* *}}{\partial r} + \frac{\partial Ρ_{2}^{* *}}{\partial t} = - μ_{2} (r) Ρ_{2}^{* *} (r, t) ‚ \\ t_{*} \leq t \leq t_{1} ； \end{cases} \\ {\begin{cases} Ρ_{1}^{* *} (0 ‚ t) = Ρ_{1} \int_{0}^{\infty} f_{1} (r) Ρ_{1}^{* *} (r, t) d r ‚ \\ Ρ_{2}^{* *} (0 ‚ t) = \int_{0}^{\infty} [^{0} f_{2} (r) Ρ_{2}^{* *} (r, t) + \\ ? q_{1} f_{1} (r) Ρ_{1}^{* *} (r, t)] d r ‚ \\ Ρ_{1}^{* *} (r, t_{*}) = Ρ_{10}^{* *} (r), Ρ_{2}^{* *} (r, t_{*}) = Ρ_{20}^{* *} (r) 。 \end{cases} \end{array}$ $\begin{array}{l} {\begin{cases} \frac{\partial Ρ_{1}^{* *}}{\partial r} + \frac{\partial Ρ_{1}^{* *}}{\partial t} = - μ_{1} (r) Ρ_{1}^{* *} (r, t) ‚ \\ \frac{\partial Ρ_{2}^{* *}}{\partial r} + \frac{\partial Ρ_{2}^{* *}}{\partial t} = - μ_{2} (r) Ρ_{2}^{* *} (r, t) ‚ \\ t_{*} \leq t \leq t_{1} ； \end{cases} \\ {\begin{cases} Ρ_{1}^{* *} (0 ‚ t) = Ρ_{1} \int_{0}^{\infty} f_{1} (r) Ρ_{1}^{* *} (r, t) d r ‚ \\ Ρ_{2}^{* *} (0 ‚ t) = \int_{0}^{\infty} [^{0} f_{2} (r) Ρ_{2}^{* *} (r, t) + \\ ? q_{1} f_{1} (r) Ρ_{1}^{* *} (r, t)] d r ‚ \\ Ρ_{1}^{* *} (r, t_{*}) = Ρ_{10}^{* *} (r), Ρ_{2}^{* *} (r, t_{*}) = Ρ_{20}^{* *} (r) 。 \end{cases} \end{array}$

其中, P $_{10}^{* *}$ $_{10}^{* *}$ (r) , P $_{2}^{* *}$ $_{2}^{* *}$ (r, t_*) 为t_*时刻购买的种群密度。

4.2.2 其他畜禽 (i=3, 4, …, 7) 有如下的模型:

$\begin{array}{l} \frac{\partial Ρ_{i}^{*}}{\partial r} + \frac{\partial Ρ_{i}^{*}}{\partial t} = - μ_{1} (r) Ρ_{i}^{*} (r, t) ‚ \\ Ρ_{i}^{*} (0, t) = Ρ_{i} \int_{0}^{\infty} f_{i} (r) Ρ_{i}^{*} (r, t) d r, \\ Ρ_{i}^{*} (r, t_{0}) = Ρ_{i o}^{*} (r) ‚ \\ t_{0} \leq t \leq t_{1} ； \\ \frac{\partial Ρ_{i}^{* *}}{\partial r} + \frac{\partial Ρ_{i}^{* *}}{\partial t} = - μ_{1} (r) Ρ_{i}^{*} (r, t) ‚ \\ Ρ_{i}^{* *} (0, t) = Ρ_{i} \int_{0}^{\infty} f_{i} (r) Ρ_{i}^{* *} (r, t) d r, \\ Ρ_{i}^{* *} (r, t_{0}) = Ρ_{i o}^{* *} (r) ‚ \\ t_{*} \leq t \leq t_{1} 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} \frac{\partial Ρ_{i}^{*}}{\partial r} + \frac{\partial Ρ_{i}^{*}}{\partial t} = - μ_{1} (r) Ρ_{i}^{*} (r, t) ‚ \\ Ρ_{i}^{*} (0, t) = Ρ_{i} \int_{0}^{\infty} f_{i} (r) Ρ_{i}^{*} (r, t) d r, \\ Ρ_{i}^{*} (r, t_{0}) = Ρ_{i o}^{*} (r) ‚ \\ t_{0} \leq t \leq t_{1} ； \\ \frac{\partial Ρ_{i}^{* *}}{\partial r} + \frac{\partial Ρ_{i}^{* *}}{\partial t} = - μ_{1} (r) Ρ_{i}^{*} (r, t) ‚ \\ Ρ_{i}^{* *} (0, t) = Ρ_{i} \int_{0}^{\infty} f_{i} (r) Ρ_{i}^{* *} (r, t) d r, \\ Ρ_{i}^{* *} (r, t_{0}) = Ρ_{i o}^{* *} (r) ‚ \\ t_{*} \leq t \leq t_{1} 。 \end{array}$

当畜禽饲养呈拥挤状态时, 对畜禽增殖参数的影响将通过μ_i (r) 及f_i (r) 的变化而实现。

用X $_{E i o}^{(3)}$ $_{E i o}^{(3)}$ [a, Y $_{3}^{(7)}$ $_{3}^{(7)}$ (t) , Y $_{E c i}^{(3)}$ $_{E c i}^{(3)}$ (t) ], X $_{E i o}^{(3)}$ $_{E i o}^{(3)}$ [a, Y $_{3}^{(7)}$ $_{3}^{(7)}$ (t) , Y⁽³⁾_Eci (t) ], X $_{u i o}^{(3)}$ $_{u i o}^{(3)}$ [a, Y $_{3}^{(7)}$ $_{3}^{(7)}$ (t) , Y $_{F c i}^{(3)}$ $_{F c i}^{(3)}$ (t) ], X $_{D i o}^{(3)}$ $_{D i o}^{(3)}$ [a, Y $_{3}^{(7)}$ $_{3}^{(7)}$ (t) , Y $_{F c i}^{(3)}$ $_{F c i}^{(3)}$ (t) ]分别表示t时间第i种畜禽每一a岁的个体的蛋 (或奶) 、肉的产量及排粪量。它们都是年龄a、劳动力数X $_{L}^{(7)}$ $_{L}^{(7)}$ (t) 和粮食饲料量Y $_{F c i}^{(3)}$ $_{F c i}^{(3)}$ (t) 的函数。于是不同畜禽的蛋、奶、肉及粪的输出量将有如下的模型:

$\begin{array}{l} X_{E i}^{(3)} (t) = \int_{0}^{\infty} X_{E i o}^{(3)} (r, X_{L}^{(7)} ‚ Y_{F c i}^{(3)} Ρ_{i} (r, t) d r ‚ \\ X_{D i}^{(3)}) (t) = \int_{0}^{\infty} X_{D i o}^{(3)} (r, X_{L}^{(7)} ‚ Y_{F c i}^{(3)} Ρ_{i} (r, t) d r ‚ \\ X_{Μ i}^{(3)} (t) = \int_{0}^{\infty} X_{Μ i o}^{(3)} (r, X_{L}^{(7)} ‚ Y_{F c i}^{(3)} Ρ_{i} (r) Ρ_{i} (r, t) d r 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} X_{E i}^{(3)} (t) = \int_{0}^{\infty} X_{E i o}^{(3)} (r, X_{L}^{(7)} ‚ Y_{F c i}^{(3)} Ρ_{i} (r, t) d r ‚ \\ X_{D i}^{(3)}) (t) = \int_{0}^{\infty} X_{D i o}^{(3)} (r, X_{L}^{(7)} ‚ Y_{F c i}^{(3)} Ρ_{i} (r, t) d r ‚ \\ X_{Μ i}^{(3)} (t) = \int_{0}^{\infty} X_{Μ i o}^{(3)} (r, X_{L}^{(7)} ‚ Y_{F c i}^{(3)} Ρ_{i} (r) Ρ_{i} (r, t) d r 。 \end{array}$

用X $_{F c i o}^{(3)}$ $_{F c i o}^{(3)}$ (a, t) 表示t时间, 第i种畜禽每一a岁的个体正常情况下所需的粮食饲料量, 则不同畜禽对粮食饲料的需要量将有如下模型:

$X_{F c i}^{(3)} (t) = \int_{0}^{\infty} X_{F c i o}^{(3)} (r, t) Ρ_{i} (r, t) d r 。$ $X_{F c i}^{(3)} (t) = \int_{0}^{\infty} X_{F c i o}^{(3)} (r, t) Ρ_{i} (r, t) d r 。$

具体应用时将上述连续模型离散化为以年为时间单位的离散模型, 于是上述模型将成为一个矩阵模型。

《4.3渔业分室》

4.3渔业分室

假定鱼类也是一年收获一次, 类似于作物分室, 则对于渔业产量X $_{F}^{(4)}$ $_{F}^{(4)}$ (K) 和饲料需要量X $_{F F}^{(4)}$ $_{F F}^{(4)}$ (K) 有如下的模型:

$\begin{array}{l} X_{F}^{(4)} (Κ) = Y^{(4)} (Κ) Ρ_{F}^{(4)} [Y_{R}^{(5)} (Κ) ‚ Y_{4}^{(7)} (Κ)] ‚ \\ X_{F F}^{(4)} (Κ) = Y^{(a)} (Κ) F_{F}^{(4)} 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} X_{F}^{(4)} (Κ) = Y^{(4)} (Κ) Ρ_{F}^{(4)} [Y_{R}^{(5)} (Κ) ‚ Y_{4}^{(7)} (Κ)] ‚ \\ X_{F F}^{(4)} (Κ) = Y^{(a)} (Κ) F_{F}^{(4)} 。 \end{array}$

这里P⁽⁴⁾_F和F⁽⁴⁾_F分别是单位渔塘面积的产鱼量和饲料的需要量, 前者可以理解为沼气肥使用量和渔业劳动力的函数。

《4.4沼气分室和粪肥分室》

4.4沼气分室和粪肥分室

关于沼气有如下的模型:

$\begin{array}{l} X_{G}^{(5)} (Κ) = X_{G}^{(5)} (Κ - 1) + \sum Y_{Ν}^{(5)} (Κ) \times Y_{G}^{(5)} (Κ) ‚ \\ X_{R}^{(5)} (Κ) = X_{R}^{(5)} (Κ - 1) + \sum Y_{Ν}^{(5)} (Κ) \times Y_{R}^{(5)} (Κ) ‚ \\ X_{D}^{(5)} (Κ) = X_{D}^{(5)} (Κ - 1) + \sum Y_{Ν}^{(5)} (Κ) \times Y_{D}^{(5)} (Κ) ‚ \\ X_{S}^{(5)} (Κ) = X_{S}^{(5)} (Κ - 1) + \sum Y_{Ν}^{(5)} (Κ) \times Y_{S}^{(5)} (Κ) ‚ \end{array}$ $\begin{array}{l} X_{G}^{(5)} (Κ) = X_{G}^{(5)} (Κ - 1) + \sum Y_{Ν}^{(5)} (Κ) \times Y_{G}^{(5)} (Κ) ‚ \\ X_{R}^{(5)} (Κ) = X_{R}^{(5)} (Κ - 1) + \sum Y_{Ν}^{(5)} (Κ) \times Y_{R}^{(5)} (Κ) ‚ \\ X_{D}^{(5)} (Κ) = X_{D}^{(5)} (Κ - 1) + \sum Y_{Ν}^{(5)} (Κ) \times Y_{D}^{(5)} (Κ) ‚ \\ X_{S}^{(5)} (Κ) = X_{S}^{(5)} (Κ - 1) + \sum Y_{Ν}^{(5)} (Κ) \times Y_{S}^{(5)} (Κ) ‚ \end{array}$

关于粪肥则有

$\begin{array}{l} X_{D}^{(6)} (Κ) = X_{S}^{(1)} (Κ - 1) + X_{D}^{(3)} (Κ) - \\ X_{S}^{(5)} (Κ) - X_{D}^{(5)} (Κ) - X_{D}^{(3)} (Κ) 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} X_{D}^{(6)} (Κ) = X_{S}^{(1)} (Κ - 1) + X_{D}^{(3)} (Κ) - \\ X_{S}^{(5)} (Κ) - X_{D}^{(5)} (Κ) - X_{D}^{(3)} (Κ) 。 \end{array}$

其中X⁽¹⁾_S为作物分室中所提供的能用于沤制有机肥的秸杆, X⁽³⁾_D为畜禽分室中提供做为肥料的畜禽粪。

《4.5人口分室》

4.5人口分室

类似于畜禽分室, 人口分室也是一个连续模型, 令P_i (r, t) 为人口种群的密度函数, 则有:

$\begin{array}{l} \frac{\partial Ρ_{l}}{\partial r} + \frac{\partial Ρ_{l}}{\partial t} = - μ (r) Ρ_{l} (r, t), \\ Ρ_{l} (0 ‚ t) = \int_{0}^{\infty} f_{1} (r) Ρ_{l} (r ‚ t) d r, \\ Ρ_{l} (r, t_{0}) = Ρ_{l o} (r) 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} \frac{\partial Ρ_{l}}{\partial r} + \frac{\partial Ρ_{l}}{\partial t} = - μ (r) Ρ_{l} (r, t), \\ Ρ_{l} (0 ‚ t) = \int_{0}^{\infty} f_{1} (r) Ρ_{l} (r ‚ t) d r, \\ Ρ_{l} (r, t_{0}) = Ρ_{l o} (r) 。 \end{array}$

人口分室于时间t提供的劳动力总数为

$X_{L}^{(7)} (t) = \int_{a_{1}}^{a_{2}} Ρ_{l} (r, t) d r 。$ $X_{L}^{(7)} (t) = \int_{a_{1}}^{a_{2}} Ρ_{l} (r, t) d r 。$

a₁, a₂为劳动的上下年龄限, 应用中将以年为时间单位把上述模型离散化为矩阵模型, 为避免计算过程不必要的冗长, 在年龄上以5年为计算单位, 将人口分成若干个5年的年龄组。

《4.6加工分室》

4.6加工分室

对于加工分室有如下的模型:

$\begin{array}{l} X_{C}^{(8)} (Κ) = X_{C o}^{(8)} Y_{8}^{(7)} (Κ) ‚ \\ X_{F}^{(8)} (Κ) = X_{F o}^{(8)} Y_{C}^{(8)} (Κ) 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} X_{C}^{(8)} (Κ) = X_{C o}^{(8)} Y_{8}^{(7)} (Κ) ‚ \\ X_{F}^{(8)} (Κ) = X_{F o}^{(8)} Y_{C}^{(8)} (Κ) 。 \end{array}$

式中X $_{C o}^{(8)}$ $_{C o}^{(8)}$ 和X $_{F o}^{(8)}$ $_{F o}^{(8)}$ 分别表示一个劳动力所能加工的原料量以及单位原料所生产的加工饲料和食品量。

《5 模型的指标》

5 模型的指标

衡量系统模型的指标, 除考虑有关分室的物质产量以及商品粮和供输出的肉、蛋、奶和鱼的产量之外, 作为一个生产农业系统, 还把能量转换效率、光能利用率、人工辅助能产投比、有关次级生产的饲料转化率、组织生长效率和呼吸效率做为衡量模型的指标。在运行此模型时, 与物质生产量一起同时给出相应生态指标的数值, 以利于对模型的结果进行更深入的分析研究。

数学模型的计算机程序及计算机模拟结果略。

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